Matriz que Representa una TL

Introducción

Repite conmigo:

¡Todas las \(T L\) son matrices! ¡Toda matriz es una \(T L\)!

¡Repitelo hasta que no lo olvides nunca! 🤣

¿Cuál es la ventaja de representar una \(TL\) como una matriz? Bien, por ejemplo, si tomamos la representación de una matriz en una base canónica, podemos hallar el núcleo e imagen de la \(TL\) por la matriz. 

Otro resultado interesante es que podemos determinar la dimensión del núcleo e imagen de una transformación lineal a través de la dimensión del núcleo e imagen de una matriz que la represente en cualquier base del dominio y codominio. 

Por tanto, será útil representar una \(TL\) en forma de matriz.

Lo primero que haremos es descubrir cómo armar la matriz asociada a una \(TL\) cualquiera.

Para hacerlo, usaremos el concepto de base, así que necesitas estar al tanto de ello. Recordemos qué es una base:

El conjunto ordenado \(\beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \subset V\) es una base de \(V\) si:

     \(\bullet\) \({span}\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}=V\)

     \(\bullet\) \(\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}\) es \(LI\)

Recuerda que la base es un conjunto ordenado; es decir, el orden de los elementos importa.

Matriz que Representan \(TL’s\) (Base canónica)

Para transformar una transformación lineal en una matriz, necesitamos una base. ¡Primero vamos a trabajar con las bases canónicas!

Veamos los pasos para encontrar la matriz que representa la siguiente transformación:

\[T: R^{2} \longrightarrow R^{3}\]

\[T(x, y)=(2 x-y, x-2 y, x+2 y)\]

El procedimiento es sencillo.

Paso 1: aplicar la \(TL\) en los vectores de la base canónica \(\{(1,0),(0,1)\}\) del dominio \(\left(R^{2}\right)\):

\[T(1,0)=\left(2^{*} 1-0,1-2^{*} 0,1+2^{*} 0\right)=(2,1,1)\]

\[T(0,1)=\left(2 * 0-1,0-2^{*} 1,0+2^{*} 1\right)=(-1,-2,2)\]

Paso 2: colocar los vectores en las columnas de una matriz respetando el orden de la base. 

\[\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right]\]

¡Y listo! Ya tenemos la matriz que representa \(T\). 

Si lo prefieres, también podemos "desglosar" la fórmula de la \(TL\):

\[T(x, y)=\left[\begin{array}{l}2 x-y \\ x-2 y \\ x+2 y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

Todavía no hemos terminado. Faltan un par de cosas interesantes:

Matriz de una Transformación con respecto a Bases Arbitrarias

En el ejemplo anterior usamos las bases del dominio y codominio de la transformación para generar la matriz. ¿Y si quisiéramos usar cualquier otra base? O mejor dicho, si el ejercicio nos obligara a usar una, ¿qué haríamos?

Vamos a usar el mismo ejemplo anterior, pero esta vez usaremos bases diferentes a las canónicas, tanto en el dominio como en el codominio.

\[T: R^{2} \longrightarrow R^{3}\]

\[T(x, y)=(2 x-y, x-2 y, x+2 y)\]

Paso 1: escoger una base para el dominio y el codominio:

Sea \(\alpha\) una base para el dominio \(R^{2}\):

\[\alpha=\{(1,0),(1,1)\}\]

Y sea \(\beta\) una base para el codominio \(R^{3}\):

\[\beta=\{(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)\}\]

Paso 2: aplicar la transformación en los vectores de la base del dominio:

\[T(1,0)=(2 * 1-0,1-2 * 0,1+2 * 0)=(2,1,1)\]

\[T(1,1)=\left(2^{*} 1-1,1-2^{*} 1,1+2^{*} 1\right)=(1,-1,3)\]

Paso 3: escribir esos vectores en las coordenadas de la base \(\beta\) del codominio:

\[T(1,0)=(2,1,1)\]

\[T(1,0)=a_{1}(1,0,0)+b_{1}(0,1,1)+c_{1}(0,0,1)\]

\[(2,1,1)=a_{1}(1,0,0)+b_{1}(0,1,1)+c_{1}(0,0,1)\]

\[(2,1,1)=\left(a_{1}, b_{1}, b_{1}+c_{1}\right)\]

\[\left\{\begin{array}{l}\qquad \begin{array}{l}a_{1}=2 \\ b_{1}=1\end{array} \\ b_{1}+c_{1}=1 \Rightarrow c_{1}=0\end{array}\right.\]

Por tanto:

\[(2,1,1)=2(1,0,0)+1(0,1,1)+0(0,0,1)\]

\[[(2,1,1)]_{\beta}=(2,1,0)\]

Haciendo lo mismo para \(T(1,1)=(1,-1,3)\):

\[T(1,1)=(1,-1,3)=a_{2}(1,0,0)+b_{2}(0,1,1)+c_{2}(0,0,1)\]

\[(1,-1,3)=\left(a_{2}, b_{2}, b_{2}+c_{2}\right)\]

\[(1,-1,3)=\left(a_{2}, b_{2}, b_{2}+c_{2}\right)\]

\[\left\{\begin{array}{c}a_{2}=1 \\ b_{2}=-1 \\ b_{2}+c_{2}=3 \Rightarrow c_{2}=4\end{array}\right.\]

Por tanto:

\[(1,-1,3)=1(1,0,0)-1(0,1,1)+4(0,0,1)\]

\[[(1,-1,3)]_{\beta}=(1,-1,4)\]

Paso 5: colocar los vectores que encontramos en las columnas de una matriz:

\[\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 4\end{array}\right]\]

Y voilà, tenemos la matriz que representa la \(TL\). er

Definición

Veamos la definición formal:

En el ejemplo anterior teníamos que:

\[[T]_{\beta \longleftarrow \alpha}=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right]\]

Siendo así, podemos interpretar que \(T\) lleva al vector \((x, y)\) en la base canónica a \((2 x-y, x-2 y, x+2 y)\), mientras que la matriz \(\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right]\) lleva las coordenadas de \((x, y)\) en la base \(\alpha\) a las coordenadas de \(T(x, y)\) en la base \(\beta\).

Si decimos que \((x, y)=u\) y \([T]_{\beta \longleftarrow \alpha}=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right]\), podemos esquematizar la relación matricial anterior como:

\[[T(u)]_{\beta}=[T]_{\beta \longleftarrow \alpha} \bullet [u]_{\alpha}\]

Notación: cuando tenemos una \(TL\) con el mismo dominio y codominio\(T: U \longrightarrow U\), ambos tienen la misma base, porque son iguales. Entonces, si \(\alpha\) es una base del dominio, también lo es del codominio. Por tanto, podemos denotar la matriz que representa \(T\) como:

\[[T]_{\alpha \longleftarrow \alpha}=[T]_{\alpha}\]

¡Pero cuidado! Muchas personas se confunden con \([T]_{\alpha}=[T(u)]_{\alpha}\) No caigas en ese error, una notación es diferente a la otra. 

Ten en cuenta que si, por ejemplo, tuviéramos: \(T: R^{3} \longrightarrow R^{3}\), la matriz \([T]_{\alpha}\) sería una matriz \(3 \times 3\).

Pero la matriz \([T(u)]_{\alpha}\) siempre será una matriz columna. ¿Por qué? Porque \([T(u)]_{\alpha}\) son las coordenadas del vector \(T(u)\) en la base \(\alpha\) (Recuerda la definición)

Por tanto, recuerda que:

\[[T]_{\beta} \neq[T(u)]_{\beta}\]

En resumen 

Hemos hablado demasiado, sin embargo, haré un resúmen de los puntos más importantes. Para armar una matriz que represente una \(TL\) en dos bases, tenemos que hacer lo siguiente:

Paso 1: tener una base definida para el domino y el codominio. 

Paso 2: aplicar \(T\) en cada uno de los vectores de la base del dominio.

Paso 3: tomar cada uno de los resultados, y escribirlos en las coordenadas de la base de su codominio.

Paso 4: colocar los vectores obtenidos en el paso 3 como columnas en una matriz, siguiendo el orden de la base que definimos para el dominio. 

Truco: si todavía no has entendido, ahora lo harás: genéricamente, si tenemos \(T: U \longrightarrow V\), sabemos que la matriz \([T]_{\beta \longleftarrow \alpha}\) siempre tendrá estas dimensiones

\(\operatorname{dim}(V) \times \operatorname{dim}(U)\)

Es decir,  \(\text{número de columnas}=dim (Dom(T))\) y \(\text{número de líneas}=dim (CDom(T))\).