Introducción a las Funciones Vectoriales
Una función vectorial de múltiples variables son dos (o más) funciones con varias variables en un vector, donde estas funciones son los dos componentes del vector.
Entonces, para dos funciones, tenemos:
\[F(x, y, z)=(f(x, y, z), g(x, y, z))\]
Entonces, relacionas tres números \(x, y, z\) con otros dos números \(f(x, y, z)\) y \(g(x, y, z)\), en un vector:
\[x, y, z \longmapsto(f(x, y, z), g(x, y, z))\]
Por ejemplo:
\[F(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+y+3 z)\]
La notación que utilizamos para las funciones vectoriales de múltiples variables es:
\[F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\]
\[X=\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\right) \rightarrow F(X)=\left(f_{1}(X), f_{2}(X), \ldots, f_{m}(X)\right)\]
No te preocupes, se que la notación lo hace parecer díficil pero no lo es.
Lo que quiere decir es que tenemos una función que toma \(\boldsymbol{n}\) variables (o parámetros) en \(m\) coordenadas.
¿Y quiénes son los \(n\) parámetros? Son:
\[X=\left(x_{1}, x_{2} \ldots, x_{n}\right)\]
Que en el ejemplo son:
\[X=(x, y, z)\]
¿Y las \(m\) coordenadas? Son:
\[F(X)=\left(f_{1}(X), f_{2}(X), \ldots, f_{m}(X)\right)\]
Que en el ejemplo son:
\[f_{1}(X)=f_{1}(x, y, z)=x+y+z\]
\[f_{2}(X)=f_{2}(x, y, z)=2 x+y+3 z\]
Es decir, la función es del tipo
\[F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\]
¿Entendido?
Por tanto, una función vectorial de múltiples variables puede tomar tantos parámetros en tantas coordenadas como quiera.
A continuación, hablaremos sobre el dominio de estas funciones.
Dominio
El dominio de una función es el conjunto de existencia de sí misma, es decir, los valores para los cuales está definida.
Por tanto, el dominio de una función vectorial de múltiples variables será el conjunto de dominios de intersección de cada una de las coordenadas de dicha función, esto garantiza que todas las funciones de coordenadas estén bien definidas en el conjunto.
Para hallar el dominio de cada coordenada de la función, sólo mira las restricciones, teniendo en cuenta que:
\(\bullet\) En las fracciones, el denominador no puede ser \(0\)
\(\bullet\) Dentro de las raíces cuadradas no puede haber un número negativo
\(\bullet\) El valor dentro de un logaritmo debe ser estrictamente positivo
Entonces, para ver si puedes, dime el dominio de esta función:
\[F(x, y)=(\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}, x+y)\]
Tenemos
\[f_{1}(x, y)=\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}\]
\[f_{2}(x, y)=x+y\]
Al ver \(f_{2}\) de inmediato notamos que no tiene restricciones, ¿verdad? \(x\) y \(y\) pueden ser cualquier cosa.
\[(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\]
En \(f_{1}\) tenemos una raíz cuadrada, por tanto, adentro no puede haber un número negativo:
\[25-\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2} \geq 0\]
\[\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} \leq 25\]
La intersección de estas dos restricciones es:
\[\operatorname{Dom}(F)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} \leq 25\right\}\]
¿Cómo se vería el gráfico de ese dominio?
Deberíamos pensarlo como una igualdad:
\[\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25\]
Esto sería, por la ecuación de la circunferencia \(\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2}\), un radio de circunferencia de \(5\) centrado en el origen. Como es una desigualdad, tenemos un disco de radio \(5\) centrado en el origen, es decir, todos los puntos dentro de la circunferencia.
Por tanto, el gráfico sería:
Imagen
Ya sabemos que una función vectorial de múltiples variables son dos (o más) funciones de múltiples variables en un vector donde las funciones son las dos (o más) componentes dicho vector.
Entonces, para dos funciones tenemos:
\[F(x, y, z)=(f(x, y, z), g(x, y, z))\]
Lo que hacemos es relacionar tres números \(x, y, z\) con otros dos números \(f(x, y, z)\) y \(g(x, y, z)\):
\[x, y, z \longrightarrow(f(x, y, z), g(x, y, z))\]
La imagen de la función vectorial es el siguiente vector: \((f(x, y, z), g(x, y, z))\).
¿Y cómo podemos graficar dicha imagen?
Bueno, para graficar la imagen de una función vectorial, necesitamos hallar una relación entre los componentes del vector que componen la imagen.
En el caso de las funciones vectoriales de \(1\) variable, la relación definirá una curva. Entonces, tenemos que averiguar qué tipo de curva es.
En el caso de las funciones vectoriales de múltiples variables, esta relación definirá una superficie. Entonces, lo que tenemos que hacer es descubrir cuál es esa superficie.
Y voilà, tendremos la imagen de la función vectorial.
Veamos un ejemplo:
\[F(x, y)=(x, y, \sqrt{x^{2}+y^{2}})\]
Ten en cuenta que si decimos que el tercer componente de la función es \(z\), tenemos que:
\[z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
Esa fórmula expresa la relación entre los componentes de la función vectorial. Y dicha relación define la parte superior de un cono.
El gráfico de la imagen es:
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