Teorema de la Función Inversa
El Teorema de la función inversa sirve para determinar la derivada de la inversa de una función, sin tener que calcular su inversa.
Para el caso de una variable, el teorema dice que si una función \(f\) es derivable y su derivada en un punto \(x_{0}, f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) tiene inversa, entonces, en las proximidades de \(x_{0}\) la función original también tendrá inversa, \(f^{-1}\), dicha inversa será diferenciable. Además, la derivada de la inversa es la inversa de la derivada. Por tanto:
\[\left(f^{-1}\right)^{\prime}\left(y_{0}\right)=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\]
Donde \(y_{0}=f\left(x_{0}\right)\).
Entonces, siendo \(f(x)=x^{3}\) determine \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(8)\).
Tenemos que
\[\left(f^{-1}\right)^{\prime}(8)=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}\]
Y
\[f^{\prime}(x)=3 x^{2}\]
Pero también necesitamos saber quién es \(x_{0}\). Para ello solo tenemos que hacer:
\[8=f\left(x_{0}\right)\]
\[8=\left(x_{0}\right)^{3} \Rightarrow x_{0}=\sqrt[3]{8} \Rightarrow x_{0}=2\]
Aplicando el teorema
\[\left(f^{-1}\right)^{\prime}(8)=\frac{1}{3 \times 2^{2}}=\frac{1}{12}\]
Si calculamos la inversa de \(f\) (que es \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\)), derivamos y aplicamos el punto \(8\), encontraremos exactamente el mismo resultado.
¡Entonces el teorema realmente funciona!
En general, para funciones de múltiples variables, el teorema es:
Si tenemos una función vectorial \(F\) que tiene derivada \(F^{\prime}\), y si su derivada en el punto \(X_{0}\), es decir, \(F^{\prime}\left(X_{0}\right)\) tiene inversa, entonces, podemos asegurar que cerca del punto \(X_{0}\) la función \(F\) también tendrá inversa, la cual será diferenciable. Además, la derivada de la inversa en el punto \(Y_{0}=F\left(X_{0}\right)\) es la inversa de la derivada de \(F\) en el punto \(X_{0}\). Entonces:
\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}\left(Y_{0}\right)=\left(F^{\prime}\left(X_{0}\right)\right)^{-1}\]
¡El procedimiento es el mismo!
Solo ten en cuenta que la derivada de la inversa es calculada en el punto \(Y_{0}\), que es el dominio de la inversa, mientras que la derivada de la función original es calculada en el punto \(X_{0}\), que es el dominio de \(\boldsymbol{F}\).
Parece difícil, pero no lo es. Veamos un ejemplo:
Considere la función \(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) definida por
\[F(x, y)=\left(x^{3}-2 x y^{2}, x+y\right)\]
Determine \(\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)\).
Este es un caso típico del teorema de la función inversa: tenemos la función \(F\) y queremos saber cuál es la derivada de la inversa \(F^{-1}\) en el punto \(Y_{0}=(-1,0)\) sin tener que calcular la inversa.
Comencemos. El primer paso es: calcular la derivada \(F^{\prime}\) de \(F\) en el punto \(X_{0}\). Es decir, tendremos que calcular la matriz Jacobiana:
\[J=\left[\begin{array}{ll}\frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3 x^{2}-2 y^{2} & -4 x y \\ 1 & 1\end{array}\right]\]
Pero ¿quién es \(X_{0}\) y \(Y_{0}\)?
\(Y_{0}\) es:
\[Y_{0}=(-1,0)\]
Se escribe en mayúscula para recordar que es un punto y no el valor de las coordenadas.
Para hallar \(X_{0}\) tenemos que hacer:
\[\left(x^{3}-2 x y^{2}, x+y\right)=(-1,0)\]
Y resolver el sistema
\[\left\{\begin{array}{l}x^{3}-2 x y^{2}=-1 \\ x+y=0\end{array}\right.\]
Despejando \(y\) en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, hallamos que
\[x=1\]
\[y=-1\]
Y, tenemos que \(X_{0}=(1,-1)\)
Estamos listos para aplicar el teorema. Entonces:
\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}\left(Y_{0}\right)=\left(F^{\prime}\left(X_{0}\right)\right)^{-1}\]
\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)=\left(F^{\prime}(1,-1)\right)^{-1}\]
\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)=\left[\begin{array}{cc}{3 \times 1^{2}-2(-1)^{2}} & {-4 \times 1 \times-1} \\ {1} & {1}\end{array}\right]^{-1}\]
\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 1 & 1\end{array}\right]^{-1}\]
Y obtenemos una matriz, con exponente menos uno. Es decir, tenemos que invertirla. Haciendo algunos cálculos:
\[\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]\]
\[\left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 1 & 1\end{array}\right]^{-1}=\frac{1}{1-4}\left[\begin{array}{cc}1 & -4 \\ -1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1 / 3 & 4 / 3 \\ 1 / 3 & -1 / 3\end{array}\right]\]
\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)=\left[\begin{array}{cc}-1 / 3 & 4 / 3 \\ 1 / 3 & -1 / 3\end{array}\right]\]
Como puedes ver, el teorema no es tan difícil como parece.
En resumen: si tenemos una función \({F}\) que es diferenciable y su derivada tiene inversa, entonces la función \({F}\) también tiene inversa, \(F^{-1}\), y dicha inversa también es diferenciable. Además, la derivada de la inversa es la inversa de la derivada.
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