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Criterios para que una Función sea Invertible

¿Qué es?

 

¿Qué significa que una función sea la inversa de otra?

 

Si tenemos una función \(F\) que tiene elementos del conjunto \(A\) en el conjunto \(B\), la inversa de dicha función irá hacia la dirección opuesta,es decir, tendrá elementos del conjunto \(B\) en el conjunto \(A\).

 

Tiene sentido ¿no?

 

Matemáticamente hablando, podemos decir que si \(F\) tiene dominio \(A\) e imagen \(B\), su inversa, en este caso \(F^{-1}\) tiene dominio \(B\) e imagen \(A\).

 

 

Recuerda: 

 

\[\text {Imagen de }F=\text {Dominio de }F^{-1}\]

 

¿Todas las funciones tienen inversa? ¿Cómo podemos saber si una función tiene inversa o no?

 

¡Lo veremos a continuación!

 

Criterios para que una Función sea Invertible

 

Para simplificar la explicación, vamos a dividir las funciones en dos categorías:

 

     \(1.\) Función afín

 

     \(2.\) Función vectorial de múltiples variables

 

Luego te mostraré que los criterios para ambas categorías dependen de una misma condición.

 

¡Vamos allá!

 

     \(1.\) Función afín  

 

Una función afín \(T\) es una función escrita como:

 

\[T(X)=A \cdot\left(X-X_{0}\right)+Y_{0}\]

 

Donde \(X, X_{0}, Y_{0}\) representan vectores, con cuentas componentes se desee, y \(A\) representa la matriz de coeficientes. Entonces

 

\[T(x, y)=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}5 \\ 6\end{array}\right]\]

 

En este caso:

  •  

\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]\]

 

\[X=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

 

\[X_{0}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right]\]

 

\[Y_{0}=\left[\begin{array}{l}5 \\ 6\end{array}\right]\]

 

Y los vectores tienen \(2\) componentes.

Bien, pero… ¿cuándo una función es invertible?

 

Cuando la matriz de coeficientes \(A\) es invertible.

 

¿Y recuerdas cuándo una matriz es invertible?

 

¿No?

Es lo vimos en álgebra, pero no preocupes, porque haremos un pequeño repaso:

Una matriz es invertible cuando su determinante es distinto de cero.

En el caso de la matriz \(A\) tenemos:

 

\[\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right|=2.4-0.1=8 \neq 0\]

 

Por tanto, la función afín tiene inversa.

 

     \(2.\) Función vectorial de múltiples variables

 

Una función vectorial de múltiples variables

 

\[F(X)=Y\]

 

Donde \(X\) y \(Y\) son vectores de cuantas componentes se quiera.

 

Por ejemplo

 

\[F(x, y, z)=(x+1, z+y, z)\]

 

Es invertible en las proximidades del punto \(X_{0}\) si su matriz jacobiana es invertible en dicho punto.

 

¿Entendido?

 

¡Es fácil!

 

La matriz jacobiana es: la matriz de las derivadas de la función vectorial, donde las columnas están formadas por las derivadas parciales de las funciones componentes en relación a cada uno de los parámetros:

 

\[J_{F}=\left[\begin{array}{lll}\frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} & \frac{\partial f_{1}}{\partial z} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} & \frac{\partial f_{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial f_{3}}{\partial x} & \frac{\partial f_{3}}{\partial y} & \frac{\partial f_{3}}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

 

Y para que una matriz sea invertible en un punto, su determinante debe ser distinto de cero. 

 

Por tanto, si queremos saber si la función \(\boldsymbol{F}\) es invertible cerca del punto \(X_{0}=(1,1,1)\), debemos sustituir en la matriz jacobiana y verificar si el determinante es distinto de cero.

 

\[J_{F}\left(X_{0}\right)=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

 

\[\operatorname{det}\left(J_{F}\left(X_{0}\right)\right)=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=1.1 .1+0.1 .0+0.1 .1-0.1 .0-1.1 .0-0.0 .1=1 \neq 0\]

 

Por tanto, la función vectorial tiene inversa.

 

¡Y eso es todo, así de simple!

 

En resumen, para saber si una función tiene inversa debes verificar que:

 

     \(\bullet\) Para la función afín: si el determinante de la matriz de coeficientes \(A\) es distinto de cero.

 

     \(\bullet\) Para funciones vectoriales: si el determinante de la matriz de derivadas en un punto \(X_{0}\) es diferente de cero.

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