Gráfico de Funciones Vectoriales

Cuando graficabamos funciones de una variable, tomabamos los valores \(x\) del dominio y \(f(x)\) de la imagen y los colocabamos en el plano cartesiano \(\mathbb{R}^{2}\).

Lo mismo aplica para las funciones vectoriales. 

Dada una función que toma el vector

\[X=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\]

En

\[F(X)=\left(f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, f_{m}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\right) \in \mathbb{R}^{m}\]

El gráfico de esa función es el conjunto de pares ordenados \((X, F(X))\) de \(X \in \operatorname{Im}(F)\) en un espacio de dimensión \(\mathbb{R}^{m+n}\), que forman \(F\). Por tanto, \(F\) puede ser una curva, un plano, una superficie o cualquier otra cosa de dimensión \(m+n\).

Sin embargo, no sabemos gráficar más allá de \(3\) dimensiones, por ello nuestro límite serán las superficies. Por tanto, \(m+n\) siempre será menor o igual a \(3\).

Ya vimos la teoría, pero hagamos un ejercicio para que entiendas la práctica:

\[F(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t)\]

Tenemos que

\[X=t \in \mathbb{R}\]

\[F(X)=F(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t) \in \mathbb{R}^{2}\]

Entonces, el gráfico de \(F\) será de dimensión \(1+2=3\), es decir, una superficie.

Vamos a descubrir qué tipo de superficie es. Dado que el gráfico es el conjunto de puntos ordenados \((X, F(X))\), tenemos:

\[G(F)=(t, \cos t, \operatorname{sen} t) \in \mathbb{R}^{s}\]

Para dibujar el gráfico, tenemos que ver que: 

\[x(t)=t\]

\[y(t)=\cos t\]

\[z(t)=\operatorname{sen} t\]

¿Te recuerda a algo? ¿No? Entonces mira:

Si hacemos \(y^{2}(t)+z^{2}(t)\) tendremos \(\cos ^{2} t+\operatorname{sen}^{2} t=1\). Esa es la parametrización de un círculo en el plano \(y z\), de radio \(1\) con centro en el origen.

Genial, pero habíamos dicho que el gráfico tiene \(3\) dimensiones. Hasta ahora solo hemos usado dos, ¿verdad? Y aquí es donde entra \(x(t)=t\), esto significa que a medida que \(t\) crece, \(x\) aumenta. Por tanto, tenemos una espiral a lo largo del eje \(x\).

¿Entendido? Genial. ¡Vamos a los ejercicios!