ou

Este contenido es exclusivo para usuarios registrados.

¡Regístrese gratis en el portal de ingeniería más grande!

Política de privacidad

Calculisto

Funciones Definidas Implícitamente

¿Qué son?

 

Vamos a comenzar con un ejemplo en \(\mathbb{R}\). 

 

Considere esta ecuación 

 

\[x^{2}+y^{2}=4\]

 

Podemos despejar \(y\) y escribirla en función de \(x\), ¿verdad? Entonces

 

\[y^{2}=4-x^{2}\]

 

\[y=\pm \sqrt{4-x^{2}}\]

 

Encontramos dos expresiones para \(y\) en función de \(x\), que estuvieron allí todo el tiempo:

 

\[f_{1}(x)=y_{1}=\sqrt{4-x^{2}}\]

 

\[f_{2}(x)=y_{2}=-\sqrt{4-x^{2}}\]

 

Esas son las funciones definidas implícitamente en una ecuación: funciones de \(x\) que están dentro de una ecuación, pero ocultas a simple vista.

 

De hecho, si sustituimos ambas funciones, \(y_{1}\) y \(y_{2}\), en la primera ecuación, veremos que la satisface:

 

\[x^{2}+\left(\pm \sqrt{4-x^{2}}\right)^{2}-4=0\]

 

\[4-4=0\]

 

Lo que tenemos, en términos matemáticos, es:

 

Una función \(y=g(x)\) está definida implícitamente en una ecuación \(f(x, y)=0\) si, cuando sustituimos \(y=g(x)\) en la ecuación, el resultado es cero, es decir , \(f(x, g(x))=0\), para todo \(x\) en el dominio de \(g(x)\).

 

Y si hacemos

 

\[f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4=0\]

 

\[y=g(x)=\pm \sqrt{4-x^{2}}\]

 

\[f(x, g(x))=x^{2}+\left(\pm \sqrt{4-x^{2}}\right)^{2}-4=0\]

 

Como puedes notar, es la misma definición que vimos.

 

Ya sabes: las ecuaciones que definen funciones implícitamente serán representadas de la siguiente forma:

 

\[\text {ecuación de cuantas variable sea}= 0\]

 

Ahora, imagina que tenemos una ecuación de \(3\) variables \(x, y, z\): 

 

\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\]

 

Verifique si define \(z\) como una función de \(x\) y \(y\).

 

Vamos a tomar toda la ecuación y despejar hacia un lado, para así poder igualar a cero. Entonces

 

\[F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\]

 

Para hallar \(z\), solo debemos despejar y escribirla en función de \(x\) y \(y\).

 

\[z=\pm \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\]

 

Es decir, tenemos dos expresiones para \(z\) en función de \(x\) y \(y\):

 

¿Y cómo podemos saber si dichas expresiones están, de hecho, implícitamente definidas en la ecuación?

 

¿Recuerdas la definición que te di para funciones definidas implícitamente en ecuaciones de una variable?

 

También aplica en este caso. Solo necesitamos hacer un pequeño arreglo, puesto que en lugar de variables tenemos vectores. Y sería así:

 

Dada una función \(F: \mathbb{R}^{n+m} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) que lleva cada par de vectores

 

\[(X, Y)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; y_{1}, \ldots, y_{m}\right)\]

 

En el par de vectores

 

\[F(X, Y)=F\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; y_{1}, \ldots, y_{m}\right)\]

 

Es decir, una función \(g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) es definida implícitamente por la ecuación \(F(X, Y)=0\), si cuando sustituimos \(Y=g(X)\) en la ecuación, el resultado es cero, es decir, si \(F(X, g(X))=0\), para todo \(X\) en el dominio de \(g\).

 

No te preocupes, sigue siendo lo mismo que para una variable, solo que ahora la ecuación \(F(X, Y)=0\), que define implícitamente una función, es una función vectorial y la función definida implícitamente, \(Y=g(X)\), es una función de múltiples variables \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\)...

 

Entonces, \(Y\) son las funciones definidas implícitamente, y \(X\) son las variables de dichas funciones.

 

Continuando con el ejemplo:

 

Queremos saber si \(z\) puede ser definida implícitamente como una función de \(x\) y \(y\), entonces, tenemos que:

 

\[X=(x, y)\]

 

\[Y=z\]

 

Y, por tanto

 

\[Y=g(X)=g(x, y) \Rightarrow z=\pm \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\]

 

Ahora, queremos saber si \(z\) puede ser definida implícitamente como una función de \(x\) y \(y\) por las expresiones que encontramos para \(z\). Entonces, necesitamos sustituir \(z=Y=g(X)\) en la ecuación

 

\[F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\]

 

Y comprobar si realmente da cero. Veamos

 

\[x^{2}+y^{2}+\left(\pm \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right)^{2}-1=0\]

 

\[x^{2}+y^{2}+1-x^{2}-y^{2}-1=0=0\]

 

Dió cero, entonces \(z\) está definida implícitamente como una función de \(x\) y \(y\).

 

Hay un par de cosas que no PUEDES OLVIDAR de ninguna manera:

 

    \(\bullet\) En \((X, Y)\), \(Y\) son las funciones definidas implícitamente, y \(X\) son las variables de las funciones.

 

     \(\bullet\) Las ecuaciones que definen funciones implícitamente son representadas por:

 

\[F(X, Y)=0\]

 

También puede ocurrir todo lo contrario, es decir, que te den una ecuación y te pregunten si define una función implícitamente en un punto. En ese caso, lo primero que debes hacer es verificar si la ecuación es \(0\) en dicho punto.

Hay un error?

Todos los Resúmenes