Teorema de la Función Implícita

En esta ocasión aprenderemos a usar el teorema de la función implícita, el cual nos permite determinar la derivada de una función definida implícitamente por una ecuación, sin tener que “explicitar” la función, puesto que a menudo no se puede hacer. Veamos cómo funciona.

 

Considere la ecuación:

 

\[F(x, y, z)=x^{2}+x y+\cos x-z^{2}+\ln \cos (z+x)\]

 

Queremos saber si \(z\) está definida implícitamente por la ecuación como una función de \(x\) y \(y\).

 

Entonces, tenemos

 

\[X=(x, y)\]

 

\[Y=z\]

 

Pero,…¿cómo vamos a hacerlo si en este caso no podemos despejar \(z\) y sustituir en la ecuación para comprobar si da cero?

 

¡Y aquí es donde entra el teorema de la función implícita! El cual nos dirá si podemos definir las variables de \(Y\) en función de las variables de \(X\) y, de ser posible, también nos dará las derivadas de \(Y\) en función de \(X\).

 

Vamos al teorema:

 

Si \(\left(X_{0}, Y_{0}\right)\) es tal que

 

\[F\left(X_{0}, Y_{0}\right)=0\]

 

\[F_{Y}\left(X_{0}, Y_{0}\right)\]

 

Es invertible, entonces, en las cercanías de \(X_{0}\) existe una función diferenciable.

 

\[Y=g(X)\]

 

Que está definida implícitamente en la ecuación \(F(X, Y)=0\) y

 

\[g^{\prime}(X)=-\left(F_{Y}(X, g(X))\right)^{-1} \cdot F_{X}(X, g(X))\]

 

“¡¿CÓMO?!”

 

¡No te preocupes! ¡Veámoslo parte por parte!

 

Si, al sustituir la expresión \(F(X, Y)\) en cualquier punto \(\left(X_{0}, Y_{0}\right)\), produce cero y si la derivada parcial de \(F\) con respecto a \(Y\) en ese punto es una matriz invertible, es decir, tiene un determinante distinto de cero, entonces cerca de \(X_{0}, Y=g(X)\) se define implícitamente en la ecuación (incluso no sabemos la expresión de esta función) y es una función diferenciable. Además, su derivada es igual a menos la inversa de la derivada de \(F\) con respecto a \(Y\) veces la derivada de \(F\)con respecto a \(X\).

 

Si, al sustituir la expresión \(F(X, Y)\) en un punto cualquiera \(\left(X_{0}, Y_{0}\right)\), da cero y si la derivada parcial de \(F\) en relación a \(Y\) en dicho punto es una matriz invertible, es decir, tiene determinante distinto de cero, entonces, en la cercanías de \(X_{0}, Y=g(X)\) está definido implícitamente en la ecuación \(F(X, Y)=0\) y es una función diferenciable. Además, su derivada es igual a menos la inversa de la derivada de \(F\) en relación a \(Y\) multiplicada por la derivada de \(F\) en relación a \(X\).

 

A continuación veremos qué es \(F_{Y}, F_{X}\) y \(g^{\prime}(X)\).

 

Teniendo en cuenta que \(Y\) son las funciones definidas implícitamente, y \(X\) son las variables. 

 

¿Y qué es \(F_{Y}\)? \(F_{Y}\) es una matriz:

 

\[F_{Y}(X, Y)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{m}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial y_{n}}\end{array}\right)\]

Donde cada una de las \(f_{1}, f_{2}\) son las componentes de la función \(F\), y cada una de las \(y\) son las coordenadas que queremos ver si es una función.

 

En el ejemplo, ya vimos que \(Y=(z)\).

 

Además, la función \(F(x, y, z)=x^{2}+x y+\cos x-z^{2}+\ln \cos (z+x)\) solo tiene una componente \(f_{1}\). Entonces, tendremos:

 

\[F_{Y}(X, Y)=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial z}\right)=\left(\frac{\partial\left(x^{2}+x y+\cos x-z^{2}+\ln \cos (z+x)\right)}{\partial z}\right)=\left(-2 z+\frac{1}{z+x}\right)\]

 

¿Entendiste?

 

Ese será el jacobiano de \(F\) en relación a las componentes del vector \(Y\).

 

Luego, tenemos que comprobar que el determinante de la matriz jacobiana sea distinto de cero, para saber si es invertible.

 

Para ello, tenemos que mirar en un punto \(\left(X_{0}, Y_{0}\right)\) específico, así que hagamos los cálculos para ese punto. 

 

\[\left(X_{0}, Y_{0}\right)=\left(\left(x_{0}, y_{0}\right), z_{0}\right)=(1,1,1)\]

 

Calculando en el punto. Tenemos,

 

\[\operatorname{Det}\left[F_{Y}\left(X_{0}, Y_{0}\right)\right]=\left|-2 \bullet 1+\frac{1}{1+1}\right|=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2} \neq 0\]

 

Como el determinante dio distinto de \(0\) podemos decir que, con la ecuación de ejemplo podemos definir implícitamente \(z\) como una función de \(x\) y \(y\), muy cerca del punto \((1,1,1)\).

 

Sin embargo, eso no quiere decir que podamos escribir \(z\) en función de \(x\) y \(y\), pero al menos sabemos que la función está ahí, implícita, es decir:

 

\[Y=z=g(X)=g(x, y)\]

 

El teorema también nos permite calcular \(g^{\prime}(X)\), que en este caso, son las derivadas de \(z\) en función de \(x\) y \(y\).

 

Para ello, debemos encontrar la matriz jacobiana \(F_{X}(X, Y)\), que será

 

\[F_{X}(X, Y)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right)\]

 

Donde cada \(f_{1}, f_{2}\) son las componentes de la función \(F\), y cada una de las \(x\) son las variables de la función definida implícitamente.

 

En el ejemplo, tenemos

 

\[F_{X}(X, Y)=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x} \quad \frac{\partial f_{1}}{\partial y}\right) \Rightarrow F_{X}(X, Y)=\left(2 x+y-\operatorname{sen} x+\frac{1}{z+x} \quad x\right)\]

 

Vamos a cambiar los valores de \(x, y\) y \(z\), en el punto \((1,1,1)\)

 

\[F_{X}(X, Y)=\left(2 \cdot 1+1-\operatorname{sen} 1+\frac{1}{1+1} \quad 1\right)=\left(\frac{7}{2}-\operatorname{sen} 1 \quad 1\right)\]

 

Por último, la derivada de la función implícita será representada por \(g^{\prime}(X)\), y la fórmula que nos da el teorema para calcular dicha derivada es:

 

\[g^{\prime}(X)=-\left(F_{Y}(X, Y)\right)^{-1} \cdot F_{X}(X, Y)\]

 

Por tanto, en el ejemplo, para el punto \(X=(1,1)\), tenemos

 

\[g^{\prime}(1,1)=\left(\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) \quad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1)\right)=-\left(-\frac{3}{2}\right)^{-1} \cdot\left(\frac{7}{2}-\operatorname{sen} 1 \quad 1\right)\]

 

\[\left(\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) \quad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1)\right)=\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{7}{2}-\operatorname{sen} 1 \quad 1\right)=\left(\frac{7}{3}-\frac{2}{3} \operatorname{sen} 1 \quad \frac{2}{3}\right)\]

 

Entonces, tenemos que

 

\[\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)=\frac{7}{3}-\frac{2}{3} \operatorname{sen} 1\]

 

\[\frac{\partial z}{\partial y}(1,1)=\frac{2}{3}\]

 

En resumen, los pasos son:

 

     \(1.\) Hallar la función

 

\[F(x, y, z)=(0, \ldots, 0)\]

 

              Con cuantas componentes sean necesarias. 

 

     \(2.\) Identificar \(Y\), que son las funciones definidas implícitamente, y \(X\) que son las variables.

 

     \(3.\) Hacer la siguiente matriz

 

\[F_{Y}(X, Y)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{m}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}\end{array}\right)\]

 

Y hacemos, para la matriz 

 

\[\operatorname{Det}\left[F_{Y}(X, Y)\right] \neq 0\]

 

En el punto \(\left(X_{0}, Y_{0}\right)\), asegurando que las variables de \(Y\) pueden ser definidas implícitamente en función de \(X\), alrededor del punto.

 

NOTA: el número de variables de \(\boldsymbol{Y}\) siempre es igual al número de funciones componentes de \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})\), es decir, el número de funciones definidas implícitamente debe ser igual al número de ecuaciones dadas en el problema.

 

     \(\bullet\) Hacemos la otra matriz

 

\[F_{X}(X, Y)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right)\]

 

     \(\bullet\) Hallamos las derivadas de \(Y\) en función de \(X\)

 

\[g^{\prime}(X)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right)=-\left(F_{Y}(X, Y)\right)^{-1} \times F_{X}(X, Y)\]

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