Cómo hallar la Función Vectorial Inversa
El dominio de la función inversa es la imagen (rango) \(Y\) de la función original, mientras que la imagen (rango) de la función inversa es el dominio \(X\) de la función original. Es decir:
\[\operatorname{Dom}(F)=\operatorname{Im}\left(F^{-1}\right)\]
\[\operatorname{Im}(F)=\operatorname{Dom}\left(F^{-1}\right)\]
Entonces, si en la función original tenemos un vector \(Y\) en función de un vector \(X\), en la función inversa tendremos un vector \(X\) en función del vector \(Y\):
\[F(X)=Y\]
\[F^{-1}(Y)=X\]
Veamos un ejemplo:
\[f(x)=y=x^{2}\]
\[f^{-1}(y)=x=\pm \sqrt{y}\]
Es decir, tenemos \(y\) en función de \(x\) y, en la inversa, tenemos \(x\) en función de \(y\).
Pero… ¿y si tenemos una función de múltiples variables?
Es lo mismo, solo que tendremos que hacerlo con cada una de las componentes de la función vectorial.
Por ejemplo:
\[F(X)=F(x, y, z)=\left(\operatorname{sen} y, e^{x}, z^{3}\right)=(u, v, w)=Y\]
Tenemos un vector
\[Y=(u, v, w)=\left(\operatorname{sen} y, e^{x}, z^{3}\right)\]
En función de un vector \(X=(x, y, z)\).
Si queremos hallar la inversa de la función, tenemos que escribir cada componente del vector \(X\) en función del vector \(Y\):
\[u=\operatorname{sen} y\]
\[y=\operatorname{arcsen} u\]
\[v=e^{x}\]
\[x=\ln v\]
Y
\[w=z^{3}\]
\[z=\sqrt[3]{w}\]
Entonces
\[F(X)=F(x, y, z)=\left(\operatorname{sen} y, e^{x}, z^{3}\right)=(u, v, w)=Y\]
\[F^{-1}(Y)=F^{-1}(u, v, w)=(\operatorname{arcsen} u, \ln v, \sqrt[3]{w})=(x, y, z)=X\]
Fácil, ¿verdad?
¿Y en el caso de la función afín?
La inversa de la función afín
\[T(X)=A \cdot\left(X-X_{0}\right)+Y_{0}\]
Es dada por
\[T^{-1}(Y)=A^{-1}\left(Y-Y_{0}\right)+X_{0}\]
Como puedes notar, hicimos lo mismo:
Teníamos \(Y\) en función de \(X\) y luego escribimos \(X\) en función de \(Y\).
Veamos un ejemplo:
\[T(X)=T(x, y)=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x+1 \\ y-2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}5 \\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right]=Y\]
Tenemos
\[Y=\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right]\]
\[Y_{0}=\left[\begin{array}{l}5 \\ 6\end{array}\right]\]
\[X_{0}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right]\]
\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]\]
\[A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4}\end{array}\right]\]
“¿WTF ? ¿De dónde salió eso?”
Calculamos la inversa de la matriz \(A\) de la forma en que aprendímos en álgebra lineal.
Entonces, la inversa de la función afín es:
\[T^{-1}(Y)=T^{-1}(u, v)=\left[\begin{array}{cc}{\frac{1}{2}} & {0} \\ {-\frac{1}{8}} & {\frac{1}{4}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u-5} \\ {v-6}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x} \\ {y}\end{array}\right]=X\]
¿Entendido? Genial, ¡vamos a los ejercicios!
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