Derivadas - Matriz Jacobiana

Anteriormente, cuando hablamos sobre la derivada de una función \(f\), nos referíamos la función “\(f^{\prime}\)”. Sin embargo, dado que ahora tenemos funciones vectoriales de múltiples variables, la derivada de la función \(F\) será una matriz llamada “Matriz Jacobiana”.

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de  primer orden de una función. En este caso, está formada por las derivadas parciales de cada una de las funciones que conforman la función vectorial. 

Veamos un ejemplo:

Vamos a determinar la derivada, o la Jacobiana de la función:

\[F(x, y, z)=\left(x^{2}+e^{y}, x+y \operatorname{sen} z\right)\]

Las funciones componentes son

\[f_{1}(x, y, z)=x^{2}+e^{y}\]

\[f_{2}(x, y, z)=x+y \operatorname{sen} z\]

Entonces, la jacobiana será una matriz con todas las derivadas posibles de \(f_{1}\) y \(f_{2}\) en función de \(x, y\) y \(z\). Y así tendremos que:

\[J_{F}=\left[\begin{array}{lll}{\frac{\partial f_{1}}{\partial x}} & {\frac{\partial f_{1}}{\partial y}} & {\frac{\partial f_{1}}{\partial z}} \\ {\frac{\partial f_{2}}{\partial x}} & {\frac{\partial f_{2}}{\partial y}} & {\frac{\partial f_{2}}{\partial z}}\end{array}\right]\]

\[F^{\prime}(x, y, z)=J_{F}=\left[\begin{array}{ccc}{2 x} & {e^{y}} & {0} \\ {1} & {\operatorname{sen} z} & {y \cos z}\end{array}\right]\]

Fácil, ¿verdad?

Y si queremos saber el valor de la derivada en un punto específico, como por ejemplo \(\left(1,0, \frac{\pi}{2}\right)\), sustituimos dicho punto en la matriz jacobiana. Tendremos:

\[F^{\prime}\left(1,0, \frac{\pi}{2}\right)=J_{F}\left(1,0, \frac{\pi}{2}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{2} & {1} & {0} \\ {1} & {1} & {0}\end{array}\right]\]

¡Eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!