Diferenciabilidad

Si, lo sé, este tema es super aburrido pero tenemos que estudiarlo. ¡Sin más que agregar, comenzemos!

Existen varias maneras de saber si una función vectorial es diferenciable. Estas son:

   \(1.\) Probar la continuidad en el punto de ínteres:

Toda función diferenble en un punto también es contínua. Por tanto, si la función ni siquiera es continua, no puede ser diferenciable.

Recuerda: una función vectorial es continua sólo si todas sus componentes son continuas en el mismo punto. Si al menos una de ellas no lo es, la función no será contínua.

   \(2.\) Clase \(C^{1}\):

Las funciones vectoriales cuyas componentes son de clase \(C^{1}\) son diferenciables en todo su dominio.

Las funciones de clase \(C^{1}\) son polinomios o funciones compuestas por polinomios; ej: las funciones racionales. Esto se debe a que poseen derivadas parciales de primer orden continuas de un subconjunto de su dominio que contiene el punto de interés.

Entonces, debemos verificar si las componentes de la función vectorial son de clase \(C^{1}\), y luego analizar su dominio para decir los puntos en los que es diferenciable.

   \(3.\) Cálculo de error.

Una método infalible para saber si una función vectorial es diferenciable en un punto \(X_{0}\) es sí:

\[\lim _{H \rightarrow 0} \frac{F\left(X_{0}+H\right)-F\left(X_{0}\right)-F^{\prime}\left(X_{0}\right) \cdot H}{\|H\|}=0\]

Sí, lo sé… 👉 👈 . Vamos por partes: 

\(F^{\prime}\left(X_{0}\right)\) es la matriz jacobiana de \(F\) en el punto \(X_{0}\).

Pero, ¿quién es \(H\)?

\(H\) es un vector genérico. Mira el ejemplo:

Demuestre que

\[F(X)=F(x, y, z)=(x+y, 2 z, 2 x+2)\]

Es diferenciable en \(\mathbb{R}^{3}\). 

Tenemos que demostrar que el límite que vimos anteriormente, en un punto cualquiera \((x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}\), es cero.

Vamos a comenzar nombrando los puntos en los términos del límite:

\[X_{0}=(x, y, z)\]

Es el punto genérico de \(\mathbb{R}^{3}\). Y

\[H=\left(h_{1}, h_{2}, h_{3}\right)\]

Es el vector genérico. Por tanto, \(\|H\|\) es

\[\|H\|=\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2}}\]

Y

\[F\left(X_{0}\right)=F(x, y, z)=(x+y, 2 z, 2 x+2)\]

Y

\[F^{\prime}\left(X_{0}\right)=F^{\prime}(x, y, z)=\left[\begin{array}{lll}\frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} & \frac{\partial f_{1}}{\partial z} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} & \frac{\partial f_{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial f_{3}}{\partial x} & \frac{\partial f_{3}}{\partial y} & \frac{\partial f_{3}}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right]\]

Vamos a sustituir en el límite:

\[\lim _{H \rightarrow 0} \frac{F\left(X_{0}+H\right)-F\left(X_{0}\right)-F^{\prime}\left(X_{0}\right) . H}{\|H\|}\]

\[\lim _{\left(h_{1}, h_{2}, h_{3}\right) \rightarrow(0,0,0)} \frac{F\left(x+h_{1}, y+h_{2}, z+h_{3}\right)-F(x, y, z)-\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {2} \\ {2} & {0} & {0}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}{h_{1}} \\ {h_{2}} \\ {h_{3}}\end{array}\right]}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2}}}\]

\[\lim _{\left(h_{1}, h_{2}, h_{3}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{\left[\begin{array}{c}{x+h_{1}+y+h_{2}} \\ {2\left(z+h_{3}\right)} \\ {2\left(x+h_{1}\right)+2}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{x+y} \\ {2 z} \\ {2 x+2}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{h_{1}+h_{2}} \\ {2 h_{3}} \\ {2 h_{1}}\end{array}\right]}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2}}}\]

\[\lim _{\left(h_{1}, h_{2}, h_{3}\right) \rightarrow(0,0,0)} \frac{\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{3}^{2}}}=0\]

¡Y listo!

“Genial, pero si calcular el límite es una técnica infalible para saber si la función es diferenciable o no, ¿por qué tengo que saber sobre las otras dos condiciones?”

Simple: porque el método del límite es largo y tedioso de calcular, así que si podemos evitarlo, mejor ¿no?

Antes de ir a la sección de ejercicios, ten en cuenta esto: para calcular el límite tuvimos que calcular la matriz de las derivadas parciales, ¿verdad? Si alguna de las derivadas no existe, entonces no podremos calcular el límite, puesto que la función no será diferenciable.

Recuerda: si alguna de las derivadas parciales no existe, la función no puede ser diferenciable.