Aproximación Lineal de la Función Inversa

En esta ocasión aprenderemos a calcular la aproximación lineal de una función inversa. Es simple:

Si la función lineal \(L(X)\) que se aproxima a \(F\) cerca de un punto \(P_{0}\) es

\[L(X)=F\left(P_{0}\right)+F^{\prime}\left(P_{0}\right) \cdot\left(X-P_{0}\right)=Y\]

Entonces, la función lineal que se aproxima a \(F^{-1}\) cerca del punto \(Y_{0}=F\left(P_{0}\right)\) es:

\[L^{-1}(Y)=P_{0}+\left(F^{-1}\right)^{\prime}\left(Y_{0}\right) \cdot\left(Y-Y_{0}\right)=X\]

Es decir, si una función vectorial \(F(X)\) puede ser aproximada por una función lineal \(L(X)\) cerca de un punto \(P_{0}\), entonces la función inversa \(F^{-1}(Y)\) puede ser aproximada cerca del punto \(Y_{0}=F\left(P_{0}\right)\) mediante la inversa \(L^{-1}(Y)\) de la función lineal que mejor se aproxima a \(F\) en las cercanías de \(P_{0}\).

Veamos un ejemplo:

Sea

\[F(X)=F(x, y)=\left(x^{3}-2 x y^{2}, x+y\right)\]

Sabiendo que \(F\) es invertible en las cercanías del punto \((1,-1)\), determine la función lineal que mejor se aproxime a \(F\) en las cercanías de \(Y_{0}=F(1,-1)\).

Para hallar la aproximación lineal de la función inversa, usamos:

\[L^{-1}(Y)=P_{0}+\left(F^{-1}\right)^{\prime}\left(Y_{0}\right) .\left(Y-Y_{0}\right)\]

Entonces, vamos a identificar quién es quién:

\[P_{0}=(1,-1)\]

\[Y_{0}=F\left(P_{0}\right)=F(1,-1)=(-1,0)\]

Solo necesitamos calcular \(\left(F^{-1}\right)^{\prime}\left(Y_{0}\right)=\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)\).

Elegí este ejemplo deliberadamente porque ya lo habíamos calculado en la teoría del Teorema de la función inversa. El resultado fue:

\[\left(F^{-1}\right)^{\prime}(-1,0)=\left[\begin{array}{cc}{-1 / 3} & {4 / 3} \\ {1 / 3} & {-1 / 3}\end{array}\right]\]

Entonces, solo nos queda sustituir:

\[L^{-1}(Y)=P_{0}+\left(F^{-1}\right)^{\prime}\left(Y_{0}\right) \cdot\left(Y-Y_{0}\right)\]

\[L^{-1}(Y)=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-1 / 3 & 4 / 3 \\ 1 / 3 & -1 / 3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}u+1 \\ v-0\end{array}\right]\]

Y para que no creas que \((u, v)\) salió de la nada, al igual que

\[X=(x, y)\]

\[Y=(u, v)\]

Son las funciones componentes del vector. Tu puedes llamarlo como gustes.

¿Entendiste todo? ¡Genial, vamos a los ejercicios!