Región rectángular y Teorema de Fubini

Definición

Hasta ahora hemos aprendido qué son las integrales, así como diversas técnicas para calcularlas. A continuación, vamos a llevar esa idea a más dimensiones: integrales de funciones de dos variables (tranquilo). ¿Cómo así? Anteriormente, calculabamos las integrales de funciones del tipo \(f(x)=x^{2}+x\), ¿verdad? Sin embargo, ahora veremos cómo integrar funciones de \(x\) y \(y\), es decir, \(f(x, y)=x^{2}+x+y^{2}\). No es tan complicado como parece.

Vamos a escoger una función real \(f(x, y)=z>0\), (la superficie azul de la figura, por ejemplo) y el dominio \(R\), (el rectángulo debajo de ella). La superficie, el rectángulo \(R\) y los planos laterales \(x=a, x=b, y=\operatorname{c}\) y  \(y=d\), forman una región cerrada, ¿verdad? (un bloque).

¿Recuerdas que aprendimos que, para las funciones de una variable, la integral puede ser representada por el área entre la función y el eje de coordenadas \(x\)? En este caso, tenemos algo parecido: lo que llamamos Integral doble de \(f\) en \(R\) es exactamente el volumen de la región que se encuentra debajo \(f\). Y los escribimos así:

\[V=\iint_{R} f(x, y) d x d y \space \text{ o } \space \iint_{R} f(x, y) d A\]

(siendo \(A\) el área de \(R\))

Lo que acabamos de ver es la interpretación geométrica de la integral doble. Ahora, vamos a definir ese concepto de forma más matemática, como hicimos con las integrales simples. 

Vamos a escoger una función \(f(x, y)=z>0\) y la región \(R =[a, b] \times [c,d]\) (es decir, \(a \leq x \leq b\) y \(c \leq y \leq d\). Queremos calcular el volumen \(V\) de la región y, para eso, vamos a dividir el área de \(R\) en varios sub-rectángulos. Lo haremos repartiendo el intervalo \(x\) en \(n\) partes y \(y\)  en \(m\) partes, creando una “malla”, como podrás ver:

¿Hasta aquí todo normal, verdad?

Para un punto arbitrario \(\left(x_{i j}, y_{i j}\right)\) de cada uno de esos sub-rectángulos (un punto cualquiera) tenemos un valor correspondiente de \(f\) representado encima de ellos. De esta manera, formamos varias columnas en el domínio \(R\), que sumadas, aproximan al valor del volumen \(V\), observa:

Cada una de esas “cajas” tiene un volumen dado por el valor del área de su base \(\Delta A\) veces su altura \(f\), es decir, \(v=f\left(x_{i j}, y_{i j}\right) \Delta A\), ¿verdad? Si sumamos todos esos pequeños volúmenes, tendremos la Suma doble de Riemann (parecida a la que vimos para una variable):

\[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=i}^{n} f\left(x_{i j}, y_{i j}\right) \Delta A\]

La suma es doble porque tenemos dos dimensiones, \(x\) y \(y\).

La intuición nos dice que, cuanto menor sean los subintervalos (y, por tanto, menores esas “cajas”) mejor será la aproximación de \(V\). Entonces, hacemos que \(n\) y \(m\) tiendan al infinito, lo que nos da exactamente la definición de la integral doble:

\[\iint_{R} f(x, y) d A=\lim _{m, n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f\left(x_{i j}, y_{i j}\right) \Delta A\]

Y claro que, en ese caso, la función \(f\) es positiva y, por tanto, esa integral doble representa el volumen debajo de ella. Sin embargo, existen casos donde tendremos funciones que asumen números negativos. No te preocupes, la integral existe, solo que no representa ningún volumen. Ocurría algo parecido en las integrales simples, ¿recuerdas? Cuando la función se encontraba abajo del eje \(y\), su integral en \(x\) era un número negativo.

Propiedades

Partiendo de la definición de la integral doble, podemos deducir algunas de sus propiedades fundamentales, que son básicamente las mismas que las de la integral simple:

Linealidad: la integral de una suma es la suma de las integrales (de la misma forma, tenemos que la integral de una resta es la resta de las integrales), y podemos poner la constante fuera de la integral

\[\iint_{R}\left(c_{1} f(x, y) \pm c_{2} g(x, y)\right) d x d y=c_{1} \iint_{R} f(x, y) d x d y \pm c_{2} \iint_{R} g(x, y) d x d y\]

Ejemplo:

\[\iint_{R}\left(2 x^{3}+4 y \cos x\right) d x d y=2 \iint_{R} x^{3} d x d y+4 \iint_{R} y \cos x d x d y\]

Monotonicidad: ¿WTF? ¡Calma! Si tenemos dos funciones tal que \(f>g\), tenemos

\[\iint_{R} f(x, y) d x d y>\iint_{R} g(x, y) d x d y\]

¿Tiene sentido, no? Piensa, si \(f\) está más “alejado” del plano \(xy\), el volumen debajo de él será mayor que el volumen debajo de \(g\). Ten en cuenta que ambas funciones están siendo integradas en \(R\).

Aditividad: esta propiedad es bastante intuitiva. Si tenemos una región \(R\) que puede ser dividida en varias regiones \(a\), \(b\), \(c\), tenemos que

\[\iint_{R} f(x, y) d x d y=\iint_{a} f(x, y) d x d y+\iint_{b} f(x, y) d x d y+\iint_{c} f(x, y) d x d y\]

O sea, podemos integrar separadamente en cada parte de la región \(R\), lo que será útil más adelante.

Integrales iteradas 

Ahora que sabemos qué son las integrales dobles, surge una pregunta: ¿cómo calcularlas? Se pone seria la cosa. Por suerte, tenemos un teorema simple (e importante), llamado el Teorema de Fubini, que transforma las integrales dobles en dos integrales simples. Segundo, si \(f\) es continua en un rectángulo \(R=[a, b] \times[c, d]\), entonces:

\[\iint_{R} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x, y) d y\right] d x=\int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right] d y\]

Ten en cuenta que, solo tenemos una integral en \(x\) con límites de integración \(a\) y \(b\), y una en \(y\), con límites \(c\) y \(d\), lo cual tiene mucho sentido, ¿no? Ya que el rectángulo es \(R=[a, b] \times[c, d]\).

Este teorema no solo nos permite integrar la función en \(x\) y \(y\) separadamente, sino también cambiar el orden de integración. Pero presta atención, pues ese truco de cambiar el orden de integración solo puede hacerse cuando \(\boldsymbol{R}\) es un rectángulo, en caso contrario, más adelante veremos cómo cambiar el orden.

En los problemas que vas a resolver, las integrales tendrán corchetes, entonces, es importante que recuerdes que siempre debes comenzar por la integral de dentro. En regiones más complejas, dicho orden hace mucha diferencia.

Entonces, si queremos calcular \(\iint_{R} x y d x d y\), siendo \(R\) la región del plano \(xy\), tal que \(0 \leq x \leq 4\) y \(2 \leq y \leq 3\), tenemos, por el teorema de Fubini, que podemos armar estas dos integrales simples.

\[\int_{2}^{3} \int_{0}^{4} x y d x d y\]

Ten en consideración que el intervalo de la integral de fuera se refiere a \(d y\), mientras que el de dentro, a \(d x\). Ahora, debes resolver la integral de dentro, olvidando, por los momentos, la de fuera. Como integras en \(x\), considere la variable \(y\) como si fuera una constante (el mismo concepto que utilizamos en derivadas parciales)

\[\int_{2}^{3}\left[\int_{0}^{4} x y d x\right] d y\]

\[\rightarrow \int_{0}^{4} x y d x=\left.y \frac{x^{2}}{2}\right|_{x=0} ^{x=4}=8 y\]

Ahora si, integraremos en \(y\), sustituyendo el valor que encontramos en la \(1^{a}\) integral:

\[\rightarrow \int_{2}^{3}[8 y] d y=\left.(8) \frac{y^{2}}{2}\right|_{y=2} ^{y=3}=20\]

Y así:

\[\int_{2}^{3} \int_{0}^{4} x y d x d y=20\]