Cambio en el orden de integración - Coordenadas cartesianas

Muchas veces, cuando vemos una integral por primera vez podemos pensar que será difícil, sin embargo, cuando cambiamos el orden de integración todo resulta menos complicado. Asimismo, habrán ejercicios en donde nos pedirán cambiar el orden de integración.

¿Qué es cambiar el orden de integración? No se trata de invertir \(d x\) y \(d y\), porque eso solo puede hacerse en regiones rectangulares. En regiones más generales, también tenemos que reescribir los intervalos de integración. ¿Cómo así? Observa con atención:

Veamos un ejemplo:

\[\int_{0}^{2} \int_{4-2 x}^{4-x^{2}} x d y d x\]

Esa región está escrita como de tipo I (el intervalo de \(x\) son números y el de \(y\) ecuaciones), cambiar el orden de integración significa escribirla como de tipo II. Tendremos algo así:

\[\int_{?}^{?} \int_{?}^{?} x d x d y\]

¿Pero cuáles son los intervalos? ¡No intentes adivinar! Hagamos un gráfico

Para dibujar la recta \(y=4-2 x\): encuentre los puntos donde esta corta los ejes.

Esta va a cortar el eje \(x\) en el punto en que \(y=0\), ¿verdad? Entonces hacemos:

\[0=4-2 x\]

\[x=2\]

Y va a cortar al eje \(y\) en el punto donde \(x=0\)

\[y=4-2 \times 0\]

\[y=4\]

Para trazar la parábola \(y=4-x^{2}\): como el número que multiplica el término \(x^{2}\) es negativo, debes saber que la parábola está orientada hacia abajo. ¿Pero dónde esta encuentra la recta? Igualemos las dos ecuaciones para saber:

\[y_{\text {recta}}=y_{\text {parábola}}\]

\[4-2 x=4-x^{2}\]

\[x^{2}-2 x=0\]

\[x(x-2)=0\]

\[\text {o}\left\{\begin{array}{c}x=0 \\ x-2=0 \therefore x=2\end{array}\right.\]

Por tanto, el gráfico sería algo así

Ahora, vamos a reescribir los intervalos. El valor de \(y\) varía entre \(0\) y \(4\) como podemos ver por el gráfico.

El de \(x\) debe variar entre las ecuaciones de la recta y la parábola, pero con \(x\) en función de \(y\), es decir

\[f_{1}(y) \leq x \leq f_{2}(y)\]

Para eso, debemos despejar \(x\)

\[y=4-2 x \rightarrow x=\frac{4-y}{2}\]

\(y=4-x^{2} \rightarrow x=\sqrt{4-y}\) (pues tenemos \(x>0)\))

Así, la integral pasa a ser:

\[\int_{0}^{4} \int_{\frac{4-y}{2}}^{\sqrt{4-y}} x d x d y\]

Ten en cuenta que los nuevos intervalos no son los otros invertidos, son completamente diferentes.

¡Vamos a los ejercicios!