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Calculisto

Curvas polares

Introducción

 

En esta ocasión aprenderemos a determinar el área delimitada de ciertas curvas. 

 

Veamos un ejemplo: ¿Cómo determinamos el área delimitada por la siguiente curva?

 

\[\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2\left(x^{2}-y^{2}\right)\]

 

 

¡Calma! Vamos paso a paso.

 

Tenemos los términos \(x^{2}\) y \(y^{2}\). Cuando tenemos estos términos elevados al cuadrado, debemos utilizar coordenadas polares. Entonces tendremos

 

\[x=r \cos \theta\]

 

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

 

\[J=r\]

 

Si introducimos ese cambio en la expresión de la curva, tenemos

 

\[\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2\left(x^{2}-y^{2}\right)\]

 

\[\left(r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta\right)^{2}=2\left(r^{2} \cos ^{2} \theta-r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta\right)\]

 

\[\left(r^{2} \cdot\left(\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta\right)\right)^{2}=2\left(r^{2} \cdot\left(\cos ^{2} \theta-\operatorname{sen}^{2} \theta\right)\right)\]

 

Usando la propiedad \(\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta=1\) y \(\cos ^{2} \theta-\operatorname{sen}^{2} \theta=\cos 2 \theta\), tenemos

 

\[r^{4}=2 r^{2} \cos 2 \theta \rightarrow r^{2}=2 \cos 2 \theta \therefore r=\sqrt{2 \cos 2 \theta}\]

 

Estas son llamadas curvas polares, son todas aquellas curvas en las cuales podemos aplicar las coordenadas polares. Por lo regular, estas son bastante difíciles de trazar, por tanto, es complicado hallar la variación del ángulo \(\theta\).

 

Por tal razón, debemos considerar esta variación:

 

\[r \geq 0 \text { y } \theta_{i} \leq \theta \leq \theta_{i}+2 \pi\]

 

Donde \(\theta_{i}\) es el ángulo inicial. Entonces, vamos a adoptar que \(\theta_{i}=0\) para todos los casos. De esta forma, solo podremos tener valores de (\theta\) entre \(0\) y \(2\pi\). ¿Entendiste? Veamos un ejemplo

 

Tenemos que \(r=\sqrt{2 \cos 2 \theta}\) y \(r \geq 0\), entonces

 

\[\sqrt{2 \cos 2 \theta} \geq 0 \rightarrow \cos 2 \theta \geq 0 \therefore-\frac{\pi}{2} \leq 2 \theta \leq \frac{\pi}{2}\]

 

Si recordamos la circunferencia goniométrica, podemos concluir que existen más intervalos que son válidos, tales como:

 

\[\frac{3 \pi}{2} \leq 2 \theta \leq \frac{5 \pi}{2}\]

 

\[\frac{7 \pi}{2} \leq 2 \theta \leq \frac{9 \pi}{2}\]

 

Bien, pero debemos analizar \(\theta\) en lugar de \(2\theta\). Entonces debemos dividir todo por \(2\). Y así, los ángulos que satisfacen la primera condición son,

 

\[-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\]

 

\[\frac{3 \pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5 \pi}{4}\]

 

\[\frac{7 \pi}{4} \leq \theta \leq \frac{9 \pi}{4}\]

 

¿Recuerdas la segunda condición? Debemos garantizar que, en el máximo, \(0 \leq \theta \leq 2\pi\). Entonces, vemos que los únicos ángulos que satisfacen las dos condiciones, al mismo tiempo, son:

 

\[0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \leq \theta \leq 2 \pi\]

 

Ya casi terminamos, creeme. La variación de \(\theta\) es dada por los anteriores intervalos, mientras que la variación de \(r\) es \(0 \leq r \leq \sqrt{2} \cos 2 \theta\). Entonces, estamos listos para armar las integrales. Recordando que cuando aplicamos cambio a coordenadas polares la integral luce así:

 

\[A=\iint f(r, \theta)|J| d r d \theta\]

 

Pero para cada intervalo de \(\theta\), tendremos una integral y necesitaremos su sumatoria. 

 

\[A=\int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{\sqrt{2 \cos 2 \theta}} r d r d \theta+\int_{3 \pi / 4}^{5 \pi / 4} \int_{0}^{\sqrt{2 \cos 2 \theta}} r d r d \theta+\int_{7 \pi / 4}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2 \cos 2 \theta}} r d r d \theta\]

 

Por último, solo queda resolver las integrales y sumar el resultado. El gráfico de este ejercicio es:

 

 

Curvas polares de forma parametrizada

 

En ocasiones el problema nos da una curva parametrizada ¿Cómo la resolvemos?

 

Tenemos que calcular el área limitada por la curva:

 

\[c(\theta)=\{(1+\cos \theta) \cos \theta,(1+\cos \theta) \operatorname{sen} \theta)\}\]    \[(1)\]

 

El truco en estos casos es comparar esa expresión \((1)\) con la siguiente \((2)\)

 

\[c(\theta)=\{r(\theta) \cos \theta, r(\theta) \operatorname{sen} \theta\}\]    \[(2)\]

 

Solo ten en cuenta que \(r(\theta)\) de la expresión \((2)\) equivale a ((1+\cos \theta)\) de la expresión \((1)\). Como vimos anteriormente, \(r\geq {0}\). De este modo,

 

\[r(\theta)=1+\cos \theta \geq 0\]

 

\[\cos \theta \geq-1\]

 

Ahora, hallaremos la variación de \(\theta). Como cualquier ángulo puede satisfacer esa condición, tendríamos

 

\[-\infty \leq \theta \leq \infty\]

 

Pero en realidad, por la segunda condición tendremos:

 

\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

 

Entonces, volviendo a la fórmula de cambio a coordenadas polares, el área pedida puede ser calculada con

 

\[A=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1+\cos \theta} r d r d \theta\]

 

El paso a paso sería:

 

Paso 1: escribir el cambio polar o elíptico, sin olvidar el Jacobiano.

 

Paso 2: introducir el cambio en la ecuación de la curva que fue dada y obtener el valor de \(r\) máximo. 

 

Paso 3: usar las hipótesis \(r \geq 0\) y \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\) para hallar la variación real de \(\theta\).

 

Paso 4: escribir los límites de integración.

 

Paso 5: formular y resolver las integrales.

 

Y eso es todo. ¡Vamos a los ejercicios!

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