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Calculisto

Integrales dobles sobre regiones generales

Introducción

 

Para las integrales simples, la región en la que integramos siempre es un intervalo, ¿cierto? Sea de variable \(x\) o \(y\). Sin embargo, cuando tenemos dos variables, la historia es otra: el dominio puede ser distintos tipos de área. Ya vimos cómo calcular las integrales dobles sobre rectángulos pero, ¿y si queremos calcular en una región cualquiera? Tenemos un teorema que nos permite hacerlo.

 

Imagina una región \(D\) cerrada, representada en la imagen de abajo (la parte verde). Esta siempre estará contenida dentro de un rectángulo mayor \(R=[a, b] \times[c, d]\), ¿cierto?

 

 

Entonces, vamos a definir una función \(f\) que sea así

 

\[F(x, y)=\left\{\begin{aligned} f(x, y), & \text { si }(x, y) \text { estuviera dentro de } D \\ 0, & \text { si }(x, y) \text { estuviera fuera de } D, \text { pero dentro de } R \end{aligned}\right.\]

 

Siendo así, podemos decir que es cierto que:

 

\[\iint_{D} f(x, y) d A=\iint_{R} F(x, y) d A\]

 

Piensa: la función \(f\) tiene valor nulo fuera de \(D\), por tanto, esas regiones “a más” no añaden nada a la integral.

 

Bien, para calcular la integral en esa región, vamos a separarla en integrales simples:

 

\[\iint_{R} F(x, y) d A=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} F(x, y) d y d x\]

 

Sucede que, cuando la región no es un rectángulo, no podemos describirla sólo por intervalos de números \(a, b, c\) y \(d,\) porque esta no será limitada por rectas, sino por funciones, curvas como \(x^{2}=y\), por ejemplo. ¿Y ahora qué hacemos?

 

Digamos que \(x\) varía entre dos números (\(x\) máximo y \(x\) mínimo) y \(y\) varía entre las funciones \(g_{1}(x)\) y \(g_{2}(x)\). Cuando \(y\) está fuera de dicho intervalo \([g_{1}(x),g_{2}(x)]\) tenemos \(F(x, y)=0\), ¿verdad? Mientras que dentro, tenemos \(F(x, y)=f(x,y)\). De esa forma, podemos escribir la integral en \(D\) como:

 

\[\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} F(x, y) d y d x=\int_{a}^{b} \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) d y d x\]

 

En resumen, eso es todo lo que necesitas saber. También podemos escribir como integrales iteradas a las integrales dobles en regiones que no son rectángulos, la diferencia es que tendremos funciones en los límites de integración para una de las variables. 

 

¿Pero por qué solo para una de las variables? Porque luego de resolver la integral de dentro, solo nos quedará una integral simple, y los límites de integración de una integral simple son números. Más adelante veremos cómo funciona. 

 

Tipos de regiones

 

Acabamos de ver que para integrar en regiones generales, debemos tener una variable limitada por constantes y otra, por funciones. Es fundamental que sepas cómo escribir la región de integración. Para entender esto mejor, vamos a dividir las regiones en \(2\) tipos:

 

Regiones de Tipo I: son la regiones continuas en \(x\), lo que significa que solo necesitamos dos valores (inicial y final) de esa variable \(a\) y \(b\). En este caso, el intervalo de integración de \(y\) será dado por dos funciones de \(x\left(g_{1}(x)\right.\) y \(\left.g_{2}(x)\right)\). Describimos esas regiones de esta forma:

 

\[D=\left\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, g_{1}(x) \leq y \leq g_{2}(x)\right\}\]

 

Gráficamente, una región genérica de este tipo es así: 

 

 

Podemos pensar que: tanto arriba como abajo la región es limitada por funciones (las curvas en azul), mientras que en la izquierda y derecha, por números (las rectas de trazo interrumpido).

 

La integral sobre este tipo de región es escrita de esta forma:

 

\[\int_{a}^{b} \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) d y d x\]

 

Ejemplo: calcule \(\iint_{D} x d x d y\), donde \(D\) es la región entre la parábola \(y=x^{2}\) y la recta \(y=2 x\).

 

Primero, debemos escribir matemáticamente esa región.

 

Observando el gráfico podemos apreciar que \(x\) varía entre \(0\) y \(2\) (donde  se encuentran la recta y la parábola), mientras que \(y\) varía entre dos funciones. Entonces, podemos escribir la región como: 

 

\[D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, \mathrm{x}^{2} \leq y \leq 2 \mathrm{x}\right\}\]

 

 

Ten en cuenta que \(y\) es mayor o igual a la función “de abajo” (en azul) y menor o igual a la función “de arriba” (en rosa).

 

Entonces, la integral pasa a ser:

\[\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x} x d y d x=\]

 

\[=\left.\int_{0}^{2} x y\right|_{x^{2}} ^{2 x} d x=\]

 

\[=\int_{0}^{2}\left(2 x^{2}-x^{3}\right) d x=\]

 

\[=\left.\left(\frac{2 x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{16}{3}-\frac{16}{4}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}\]

 

¿Todo bien? Continuemos.

 

Regiones de Tipo II: son lo opuesto a las regiones de tipo I, por tanto, continuas en \(y\). Es decir, en \(y\), tenemos un intervalo definido (números). Mientras que en \(x\), la región es limitada por funciones. Estas pueden ser escritas así:

 

\[D=\left\{(x, y) \mid c \leq y \leq d, h_{1}(y) \leq x \leq h_{2}(y)\right\}\]

 

El gráfico de una región genérica de este tipo sería así:

 

 

Observa que, en ambos lados (izquierda y derecha) la región es limitada por funciones (las curvas en azul), mientras que arriba y abajo, por números (las rectas con trazo interrumpido).

 

Con el mismo razonamiento que usamos en las regiones de tipo I, concluimos que las integrales para las regiones de tipo II, pueden ser escritas así:

 

\[\int_{c}^{d} \int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)} f(x, y) d x d y\]

 

Ejemplo: calcule \(\iint_{D} x d x d y,\) donde \(D\) es la región entre la parábola  \(x=y^{2}\) y la recta \(x=1\).

 

Comencemos intentando dibujar la región \(D\). Observando la ecuación de la parábola, vemos que el término elevado al cuadrado es \(y\), no \(x\), como estamos acostumbrados a ver. Eso quiere decir que la parábola está “de lado”, con el eje de simetría paralelo a \(x\). Como el número que multiplica \(y^{2}\) es positivo, está orientado a la derecha (donde \(x\) es positivo). Entonces, tendremos algo parecido a esto

 

 

Observe que la intersección entre la recta y la parábola ocurre en los puntos \(y=-1\) y \(y=1\). Observa también, que \(x\) siempre es mayor o igual a la parábola (a la izquierda) y menor o igual a la recta (a la derecha). Por tanto, podemos decir que

 

\[\int_{-1}^{1} \int_{y^{2}}^{1} x d x d y=\]

 

\[=\left.\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{2}\right|_{y^{2}} ^{1} d y=\]

 

\[=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1}\left(1-y^{4}\right) d y=\]

 

\[=\left.\frac{1}{2}\left(y-\frac{y^{5}}{5}\right)\right|_{-1} ^{1}=\frac{4}{5}\]

 

OBS: Algunas regiones pueden ser escritas tanto de tipo I como de tipo II. En ese caso, tu decides la forma que te parezca más simple o mejor según el problema. En ambos casos podríamos haber optado por el tipo I o el tipo II.

 

Cálculo de Áreas

 

Imagina que queremos calcular el área de una región \(R\). Ya sabemos que la integral doble representa un volumen, ¿verdad? Sin embargo, por lo general los volúmenes son dados por

 

\[V=A_{b} h\]

 

Donde \(A_{b}\) es el área de la base y \(h\) es la altura del sólido. Bien, si la altura fuera \(1\), o sea, \(h=1\), tendremos que el volumen coincide con el área de la base. Por tanto, el truco para obtener un área es imaginar un sólido de altura \(1\) cuya base sea el área que queremos; de esta forma el volumen (la integral doble) coincidirá con el área diseñada, es decir, solo hacemos:

 

\[A=\iint_{R} 1 d A\]

 

 

Cálculo de Masa

 

Queremos calcular la masa de una placa en forma de parábola, \(D\). Para hacerlo, necesitaremos la densidad de dicha placa que representaremos como \(\delta\). Presta atención: normalmente, pensamos en la densidad como masa sobre volumen. Una placa fina no tiene volumen, en realidad, esa densidad será masa/área.

 

\[\delta=\frac{M}{A}\]

 

Donde \(M\) es la masa de la placa y \(A\) el área de la placa. Ya hemos trabajado bastante con densidad en física, pero esta era un número constante. Mientras que en este caso, la densidad puede variar de un punto a otro en la placa, es decir, \(\delta=\delta(x, y)\). Entonces, para calcular la masa de \(D\), podemos pensar en un elemento muy pequeño (¿que tal uno con área \(d A\)?) y decir que su pequeña masa, \(d M\), es:

 

\[d M=\delta(x, y) d A\]

 

¿Adivina qué haremos ahora? Vamos a sumar la masa de cada pedazito para obtener la masa de toda la placa

 

 \[M_{D}=\iint_{D} \delta(x, y) d A=\iint_{D} \delta(x, y) d x d y\]

 

La anterior integral se resuelve de la misma forma que lo hicimos en el ejemplo, la diferencia es que la función a ser integrada será \(\delta(x, y)\).

 

¡Vamos a los ejercicios!

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