Valores medios en regiones planas

Introducción

Cuando pensamos en medias, pensamos en aquella media clásica en el que sumamos los valores y luego dividimos por el número de términos.

Lo que haremos a continuación no será tan diferente, pero como estamos estudiando integrales dobles, tenemos que extender un poco el concepto, ¡Vamos allá!

Tenemos este caso:

Todos sabemos que \(3+1+4+8\) da \(16\), y dividimos por el total de términos, que en este caso es \(4\), para obtener la media de la región: \(16 / 4=4\).

Claro, este ejemplo es sencillo, pero aún así podemos extraer algunos conceptos importantes:

1: Tenemos la suma de todo los valores. Para una función, “sumar todos los valores” es integrar. En este caso, la integral doble de \(f(x, y)\) sobre a una región \(D\) cualquiera:

\[\iint_{D} f(x, y) d A\]

2: Tenemos el número de términos. Esto es un poco más extraño, observa que en el ejemplo, el número total de términos es exactamente igual al área del cuadrado, \(2 \times 2=4\). Y eso es lo que usaremos en el denominador, el área de la región. 

Para regiones sencillas, como cuadrados, triángulos y círculos, podemos usar las fórmulas matemáticas que vimos en secundaria. Sin embargo, para regiones totalmente extrañas o generales, podemos utilizar la integral doble. Recordando que:

\[\operatorname{Area}(D)=\iint_{D} d A\]

Finalmente, llegamos a la fórmula:

\[M e d i a=\frac{\iint_{D} f(x, y) d A}{{Area}(D)}\]

¡Fácil, vamos a resolver un ejemplo para aclarar las dudas!

Ejemplo

Encuentre el valor medio de la función \(f(x, y)=2 x+2 y\), sobre la región limitada por las rectas \(y=1-{x}\), \(y=0\) y \(x=0\).

Paso 1: armar el problema

El problema es claro en lo que pide, por tanto, tenemos que utilizar esta fórmula:

\[M e d i a=\frac{\iint_{D} f(x, y) d A}{{Area}(D)}\]

Entonces, calculamos cada uno de esos términos. Pero antes tenemos que entender la región.

Paso 2: describir la región

La región es:

Que puede ser descrita como Tipo \(I\):

\[D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x\right\}\]

Y ahora podemos hacer la integral.

Paso 3: calcular la integral doble del numerador

Tendremos:

\[\iint_{D} f(x, y) d A=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(2 x+2 y) d y d x\]

\[\left.\Rightarrow \int_{0}^{1}\left(2 x y+y^{2}\right)\right|_{0} ^{1-x} d x=\int_{0}^{1}\left[2 x(1-x)+(1-x)^{2}\right] d x\]

\[\Rightarrow \int_{0}^{1}\left(2 x-2 x^{2}+1-2 x+x^{2}\right) d x=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)=\left.\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{0} ^{1}\]

\[\Rightarrow 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\]

Y ahora solo falta el área.

Paso 4: calcular el área de la región

Por suerte, hallar el área de la región es sencillo porque tenemos un triángulo. Entonces no tendremos que integrar nada, simplemente tendremos:

\[Área=\frac{\text {base } \times \text {altura}}{2}=\frac{1 \times 1}{2}=\frac{1}{2}\]

Solo vamos a dividir. 

Paso 5: dividir los términos

Finalmente, tendremos:

\[Media=\frac{\iint_{D} f(x, y) d A}{{Area}(D)}=\frac{2 / 3}{1 / 2}=\frac{4}{3}\]

Y eso es todo, nada complicado.

Este tipo de cuestiones tiene un paso a paso bastante definido:

Paso 1: armar el problema, colocando la fórmula del valor medio;

Paso 2: describir la región, determinando los límites de integración;

Paso 3: calcular la integral doble de la función \(f(x, y)\);

Paso 4: calcular el área de la región;

Paso 5: dividir los términos calculados en el paso \(3\) y \(4\), de acuerdo con la fórmula del valor medio.

¡Vamos a los ejercicios!