Cambio a coordenadas elípticas

En ocasiones, en los problemas que involucran integrales dobles, encontraremos regiones de este tipo:

\[\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\]

Esta es una elipse de coeficientes \(a=2\) y \(b=1\). Si te das cuenta, la ecuación se parece mucho a la de la circunferencia, la única diferencia es que los coeficientes de \(x^{2}\) y de \(y^{2}\) son diferentes entre sí. En estos casos, utilizaremos un tipo de coordenadas similar a las polares: las coordenadas elípticas. El razonamiento es el mismo. 

Vamos a usar las mismas variables \(r\) y \(\theta\), sin embargo, con una sustitución diferente. Ten en cuenta que, en el ejemplo anterior, si hacemos:

\[x=2 r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

Tendremos:

\[\frac{(2 r \cos \theta)^{2}}{4}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}=1\]

\[\frac{4 r^{2}}{4} \cos ^{2} \theta+r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta=1\]

\[r=1\]

La expresión \(r=1\) representa, para las coordenadas polares una circunferencia, mientras que para las elípticas, una elipse. La región dentro de la elipse pasa a ser descrita, entonces, por los intervalos \(0 \leq r \leq 1\) y \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\).

Para escribir las elipses de esa forma (la más simple posible), tenemos que hacer las sustituciones con coeficientes diferentes.

En otras palabras, debemos buscar los coeficientes para \((r \cos \theta)\) y \((r \operatorname{sen} \theta)\) que, cuando elevemos al cuadrado, “cancelen” los coeficientes de \(a^{2}\) y \(b^{2}\) de la elipse. Entonces, podemos agrupar  y la ecuación se transformará. Por tanto, si escribimos la elipse de esa forma:

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]

La sustitución que haremos será:

\[x=a r \cos \theta\]

\[y=b r \operatorname{sen} \theta\]

Entonces el Jacobiano será:

\[J=a b r\]

Obs: solo tendremos \(r \leq 1\) si escribimos la elipse de esa forma, solo con el término \(“1”\) después de \(“=”\). De lo contrario, el radio será la raíz del término después de \(“=”\), como en la circunferencia. Es bueno que lo escribas directamente de esa forma porque resulta más fácil trazar el gráfico para visualizar la región. 

Si por ejemplo, tenemos escrita una elipse como:

\[x^{2} + 4y^{2} = 16\]

Podríamos hacer el cambio como:

\[x= 2r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname {sen} \theta\]

Llevándolo a la ecuación de la elipse, tenemos:

\[(2 r \cos \theta)^{2}+4(r \operatorname{sen} \theta)^{2}=16\]

\[r^{2}=4 \therefore r=2\]

¿Ves? No es complicado, tenemos \(r=2\) en vez de \(r=1\).

Entonces: las coordenadas elípticas son coordenadas polares con coeficientes diferentes de \(1\) (en este caso, llamamos a los coeficientes del cambio como \(a\) y \(b\)). Algunas personas también llaman a estas coordenadas “polares”, pero nosotros las llamaremos elípticas para evitar la confusión.

Entonces, cuando tenemos regiones que involucran elipses, pensaremos en coordenadas elípticas.

También podemos usar las coordenadas elípticas cuando encontramos términos cuadráticos con coeficientes diferentes, por ejemplo:

\[\iint_{D} \frac{d x d y}{4 x^{2}+9 y^{2}}\]

Si hacemos el cambio:

\[x=\frac{1}{2} r \cos \theta, y=\frac{1}{3} r \operatorname{sen} \theta, \quad J=\frac{1}{6} r\]

Llegamos a esto:

\[\iint_{D^{*}} \frac{\frac{1}{6} r}{4\left(\frac{1}{2} r \cos \theta\right)^{2}+9\left(\frac{1}{3} r \operatorname{sen} \theta\right)^{2}} d r d \theta=\iint_{D^{*}} \frac{1}{6 r} d r d \theta\]

Mucho mejor que antes, ¿verdad? Claro que en ese ejemplo todavía tendríamos que escribir la región de integración en coordenadas elípticas, aun así, el cambio de variables simplifica mucho nuestra vida. 

OBS: cuando decidimos usar el cambio de variable, debemos aplicar el cambio en todas las curvas del dominio. Por tanto, si el dominio fuera una elipse \(x^{2}+4 y^{2}=4\) encima de la recta \(y=\frac{x}{2}\). Debido a la elipse, haríamos

\[x=2 r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

Pues eso nos daría \(r=1\). Todavía tenemos que descubrir cómo va a quedar la ecuación de la recta, es decir, debemos hacer

\[y=\frac{x}{2} \rightarrow r \operatorname{sen} \theta=r \cos \theta \rightarrow \operatorname{tg} \theta=1 \therefore \theta=\frac{\pi}{4} o \theta=\frac{5 \pi}{4}\]

Así, la región será descrita por \(0 \leq r \leq 1\) y \(\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5 \pi}{4}\). Por tanto, debemos sustituir el cambio en todas las curvas. 

El paso a paso de este tipo de problemas es exactamente el mismo que el de las coordenadas polares, y los casos en que hacemos el cambio también son similares, como ya sabemos. Si sabes coordenadas polares, las coordenadas elípticas serán fáciles para tí.

Cambio cualquiera junto con cambio elíptico

A veces no es tan fácil darse cuenta que necesitamos hacer un cambio polar para resolver el problema. Por ejemplo, digamos que encuentras una región de este tipo:

\[(x+y)^{2}+\frac{(2 x+3 y)^{2}}{2}=1\]

Y una integral así;

\[\iint_{D}(2 x+3 y)^{3} d x d y\]

Complicado ¿no? Bueno, observa que, en la región de integración, tenemos un término elevado al cuadrado sumado a otro elevado al cuadrado, que es igual a un número. ¿Eso no te recuerda a una elipse? Si decimos que:

\[x+y=u\]

\[2 x+3 y=v\]

Tenemos una elipse en el plano \(uv\):

\[u^{2}+\frac{v^{2}}{2}=1\]

¡El resto es resolver los ejercicios como vimos anteriormente!

¡Vamos a los ejercicios!