Integrales dobles impropias - Intervalos infinitos

Hasta ahora, hemos calculado integrales dobles en regiones limitadas (intervalos finitos), ¿cierto? La región de integración siempre estaba limitada por un rectángulo, arco, parábola, etc; siempre cerrada.

Sin embargo, en esta ocasión aprenderemos a calcular integrales dobles en regiones infinitas.

¿Recuerdas cuando vimos las integrales simples impropias? Es decir:

\[\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{n} f(x) d x\]

¿Recuerdas? Sacabamos el infinito de la integral, lo transformabamos en un intervalo limitado y resolviamos la integral. Luego, solo tratábamos que \(n\) tendiera al infinito.

Si existe límite, la integral impropia converge, de lo contrario diverge. 

Aquí también podemos hacer eso:

\[\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{m \rightarrow-\infty} \int_{m}^{b} f(x) d x\]

En este caso, haríamos que \(m\) tienda a \(-\infty\).

Y, juntando los dos casos:

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{m \rightarrow-\infty} \int_{m}^{k} f(x) d x+\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{k}^{n} f(x) d x\]

Podríamos dividir ese intervalo para que sea infinito en ambas direcciones, y el límite para una parte sería \(+\infty\), mientras que para la otra sería, \(-\infty\).

Bien, hasta este punto nada nuevo.

Vamos a extender este concepto a dos dimensiones. Digamos que necesitas calcular esta integral doble:

\[I=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} e^{-x} d x d y\]

La región de integración es una franja infinita en la dirección \(x\).

Paso 1

Como con cualquier integral doble, vamos a comenzar por la integral de dentro. La separaremos para así evitar confusiones:

\[I=\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x\right] d y\]

Queremos calcular esto:

\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} d x\]

Eso es una integral simple, ¿verdad? Entonces, vamos a utilizar lo que vimos anteriormente:

\(\int_{a}^{+\infty} e^{-x} d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{n} e^{-x} d x\]

Ahora la integral paso a tener un intervalo finito que sabemos resolver:

\[=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(-\left.e^{-x}\right|_{0} ^{n}\right)\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-e^{-n}\right)\]

\[\int_{a}^{+\infty} e^{-x} d x=1-0=1\]

Como \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(e^{-n}\right)=0\), tenemos que:

Paso 2

Llevando eso a la integral doble:

\[I=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} e^{-x} d x d y=\int_{0}^{2} d y\]

\[1=y_{0}^{2}\]

\[I=2\]

No cambia demasiado con respecto a lo que hemos visto de integrales simples, comienzas por la integral de dentro, haciéndola tener un intervalo finito. Entonces, tomas el límite de ese resultado. Lo que encuentres será el integrando de la segunda integral.

En este ejemplo, la región estaba limitada solamente en la dirección \(x\), por tal razón, la segunda integral tenía intervalos finitos. Pero si no tuviera, repetimos el paso a paso nuevamente. Y transformamos el intervalo a finito y tomamos el resultado.

(En este caso, si la región fuera infinita en las dos direcciones, la integral divergiría.)

¡Vamos a los ejercicios!