Cambio a coordenadas polares

En los últimos capítulos vimos cómo calcular integrales dobles sobre algunos tipos de regiones, limitadas por rectas, parábolas, hipérbolas, etc. Imagina la siguiente integral:

\[\iint_{C} f(x, y) d x d y\]

Donde \(f(x, y)\) será una función bastante simple para comenzar, ¿verdad? Vamos a comenzar con \(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\).

\[\iint_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y\]

Observando la región de integración… 

Esa \(C\) será el círculo \(x^{2}+y^{2} \leq 1\). Siguiendo la idea de los capítulos anteriores, intentamos escribirlo como de tipo I o de tipo II. Digamos que es de tipo I, es decir

\[\left\{\begin{array}{c}-1 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{1-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}\end{array}\right.\]

Esas no son expresiones agradables con las cuales trabajar. En general, cuando tenemos regiones circulares, no utilizamos el sistema de coordenadas rectangulares, lo que llamamos \(x\) y \(y\). Utilizamos un sistema que describe esas curvas de una manera mucho más simple: las coordenadas polares.

Coordenadas polares

Este nuevo sistema de coordenadas utiliza una distancia entre los puntos y el origen (denominado como \(r\)), y el ángulo entre dicha distancia y el eje \(x\), el cual es denotado por \(\theta\), como se aprecia en el siguiente gráfico. 

Entonces, veamos cómo pasar del sistema rectangular de coordenadas \((x, y)\) al polar \((r, \theta)\).

Por el triángulo rectángulo de la figura, vemos que:

\(x=r \cos \theta\) (cateto adyacente al ángulo \(\theta\))

\(y=r \operatorname{sen} \theta\) (cateto opuesto al ángulo \(\theta\))

Esta relación es válida para cualquier punto que vayamos a escribir en coordenadas polares. Por tanto, los diferenciales pasan a ser \(\mathrm{dr}\) y \(\mathrm{d} \theta\).

Una observación: el ángulo \(\theta\) es positivo en sentido antihorario. 

Como hemos visto en otros capítulos, cada vez que cambiamos las coordenadas de las integrales dobles, tenemos que calcular el Jacobiano de dicha transformación. Vamos a hacer esto:

\[J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|\]

\[J=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r \operatorname{sen} \theta \\ \operatorname{sen} \theta & r \cos \theta\end{array}\right|=\left[r \cos ^{2} \theta+r \operatorname{sen}^{2} \theta\right]=r\left[\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta\right]\]

\[|J|=r\]

Por tanto, siempre que hagamos una sustitución polar en una integral doble, tenemos que escribir el término \(r\) al lado del nuevo diferencial \(drd\theta\).

Es importante que recuerdes el Jacobiano, para no tener que hacer cálculos innecesarios.

Visto lo anterior vamos a terminar de resolver el ejemplo:

\[\iint_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y\] 

Donde \(C\) es el círculo \(x^{2}+y^{2} \leq 1\).

Paso 1: trazar la región.

Paso 2: hacer el cambio a coordenadas polares

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

\[|J|=r\]

Paso 3: encontrar los límites de integración de \(r\) y \(\theta\).

\[0 \leq r \leq 1\]

\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

El radio \(r\) varía de \(0\) a \(1\), es decir, del menor radio posible, en este caso es \(0\), hasta el valor máximo, en este caso es igual a \(1\).

Y \(\theta\) está variando de \(0\) a \(2\pi\) porque está dando una vuelta completa en el plano.

Paso 4: sustituir en la integral, ¡sin olvidar el Jacobiano!

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1}\left((r \cos \theta)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}\right) r d r d \theta\]

Recordando que: \((r \cos \theta)^{2}+(r \operatorname{sen})^{2}=r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta\right)=r^{2}\).

Entonces, obtenemos esta integral:

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} r^{3} d r d \theta\]

\[\int_{0}^{2 \pi}\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} d \theta\]

\[\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{4} d \theta\]

\[\frac{1}{4} 2 \pi=\frac{\pi}{2}\]

Sin embargo, ¿cuando utilizamos este tipo de cambio? Básicamente, cuando tenemos alguno de estos casos:

   \(1.\) Cuando la región es circular (implique una circunferencia);

   \(2.\) Cuando encuentres muchos \(x^{2}\) y \(y^{2}\), sea en las ecuaciones que limiten la región o en la función que vas a integrar.

Ejemplo: entonces, vamos a calcular \(\iint_{R}\left(3 x+4 y^{2}\right) d A\), donde \(R\) es la región limitada por los círculos \(x^{2}+y^{2}=1\) y \(x^{2}+y^{2}=4,\), con \(y \geq 0\).

Paso 1: esta región puede ser descrita como:

\[R=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 ; y \geq 0\right\}\]

Gráficamente, es representada así:

Como tenemos dos circunferencias limitando la región, entonces pensamos en coordenadas polares.

Paso 2: como vamos a utilizar coordenadas polares, debemos descubrir los intervalos de integración de \(r\) y \(\theta\), ¿cierto? Tal cual como lo hacíamos con otros cambios de variables. 

Aquí tenemos a \(r\) variando entre \(1\) y \(2\) (entre la circunferencia roja y la azul)  y \(\theta\) entre \(0\) y \(\pi\) (una semicircunferencia). Pero supongamos que no hemos podido ver eso en la figura, solo debemos sustituir los valores de transformación polar en las ecuaciones del enunciado que limitan la región:

\[x^{2}+y^{2}=1\]

\[(r \cos \theta)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}=1 \rightarrow r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta\right)=1 \rightarrow r=1\]

\[x^{2}+y^{2}=4\]

\[(r \cos \theta)^{2}+(r \operatorname{sen} \theta)^{2}=4 \rightarrow r^{2}\left(\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta\right)=4 \rightarrow r=2\]

\[y \geq 0 \rightarrow r \operatorname{sen} \theta \geq 0\]

Pensemos, como siempre \(r \geq 0\), tenemos que tener \(\operatorname {sen} \theta \geq 0\). Los valores que obedecen a esa condición son: \(0 \leq \theta \leq \pi\). Entonces, el dominio puede ser reescrito como:

\[R^{*}=\{(r, \theta) \mid 1 \leq r \leq 2 ; 0 \leq \theta \leq \pi\}\]

Paso 3: ahora vamos a armar la integral en coordenadas polares, sustituyendo los valores de \(x\) y \(y\).

\[\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2}\left[3(r \cos \theta)+4(r \operatorname{sen} \theta)^{2}\right] \boldsymbol{r} d r d \theta=\]

¡El término \(r\) es el Jacobiano, no lo olvides!

Resolviendo esta integral de la forma habitual, tenemos

\[\frac{15 \pi}{2}\]

¿Todo claro? ¡Vamos a los ejercicios!