Cambio de variables

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

Como estamos estudiando integrales dobles, te daré un desafío: calcula la siguiente expresión:

\[\iint_{D}(x+2 y) \operatorname{sen}(x-2 y) d x d y\]

Donde \(D=[0,3] \times[0,1]\).

Oh, esa integral no parece complicada, ¿verdad? No siempre las integrales son simples para resolverlas directamente, a veces tenemos que “moverlas” un poco. 

¿No sería mucho más simple si fuera así?

\[\iint_{D}(u) \operatorname{sen}(v) d u d v\]

Y así llegamos al objetivo de este tema, que es aprender a cambiar las variables de las integrales, procurando dejarlas lo más fácil de resolver.

Entonces, vamos a resolver ese ejemplo.

Paso 1: lo primero que debemos hacer es la sustitución. En este caso definimos que:

\[u=x+2 y\]

\[v=x-2 y\]

Paso 2: siempre hacemos un cambio de variable no podemos olvidar calcular el Jacobiano, que es esta cosa de aquí:

\[J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\]

Nunca, de ninguna manera, olvides insertar el Jacobiano cuando hagas un  cambio de variables. Si lo olvidas, comenzarás el ejercicio con la integral incorrecta.

Como cambiamos las variables tanto para \(\mathrm{u}\) como para \(\mathrm{v}\), necesitamos un término que haga la relación entre los diferenciales. Dicho término es el Jacobiano. Y cuando lo hacemos, estamos usando el Teorema del cambio de variables. 

Un hecho interesante sobre el jacobiano es que este nunca puede ser \(0\). Si obtienes \(0\) resultado, realiza nuevamente los cálculos o haz un nuevo cambio de variable. 

En el caso del ejemplo tenemos:

\[\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2}\]

\[\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{2}\]

\[\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{4}\]

\[\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{4}\]

\[J=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\end{array}\right|=-\frac{1}{4}\]

Paso 3: sustituir todo en la nueva integral 

\[\iint_{D} f(u, v) \cdot|J| d u d v\]

Ten en cuenta que lo que multiplicamos en la integral cuando hacemos un cambio de variables es el módulo del Jacobiano. 

\[\iint_{D}(u) \operatorname{sen}(v)\left(\left|-\frac{1}{4}\right|\right) d u c l v\]

Podemos colocar esa constante fuera de la integral, así:

\[\frac{1}{4} \iint_{D}(u) \operatorname{sen}(v) d u d v\]

Paso 4: la última cosa a la que tenemos que prestar atención es a los nuevos límites de integración.

\[u=x+2 y\]

\[v=x-2 y\]

Solo que como los límites de \(x\) son \([0 \mathrm{x} 3]\) y \(y[0 \mathrm{x} 1\), vamos a sustituir los valores para hallar los nuevos límites de \(u\) y \(v\).

Sustituyendo tenemos que los límites de \(u\) son \([0 \mathrm{x} 5]\) y los límites de \(v\) son \([0 \mathrm{x} 1]\).

Entonces, la integral final es:

\[\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \int_{0}^{5}(u) \operatorname{sen}(v) d u d v\]

\[\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{u^{2}}{2} \operatorname{sen}(v)\left[\begin{array}{l}5 \\ 0\end{array} d v=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{5}{2} \operatorname{sen}(v) d v=\frac{25}{48} \int_{0}^{1} \operatorname{sen}(v) d v\right.\]

\[\frac{25}{48} \int_{0}^{1} \operatorname{sen}(v) d v=\frac{25}{48}(-\cos (v))\left[_{0}^{1} d v=\frac{25}{8}(1-\cos (1))\right.\]

Y este es el resultado del ejemplo. A continuación, veamos cómo se hace de forma genérica.

¿Recuerdas que debes calcular la relación entre los diferenciales y los nuevos límites de integración? Por ejemplo, si hacemos \(x^{2}=u\), tendremos que \(2 x d x=d x\). Si los límites iniciales fueran \(x=a\) y \(x=b\) estos pasarían a ser \(u=a^{2}\) y \(u=b^{2}\). Este método se basará en la siguiente fórmula:

\[\int f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u\]

Haremos el equivalente para las integrales dobles, pues no podemos simplemente cambiar las variables sin compensar la integral y la región de integración. Vamos a transformar una integral del tipo:

\[\iint_{D} f(x, y) d x d y\]

Transformando \(f(x, y)\) en \(h(u, v)\), tenemos que

\[\iint_{Q} h(u, v)|J| d u d v\]

Sugerencia: a veces harás sustituciones en las cuales será complicado despejar tanto \(x\) como \(y\) para calcular las derivadas parciales, por ejemplo, \(x^{3}+y=u\) y \(v=x y\). En estos casos, existe una forma más sencilla de calcular el Jacobiano.

Si queremos \(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=J\), podemos calcular \(\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}=J^{*}\), usando las derivadas parciales de \(u\) y \(v\) e invertir ese resultado. Pues:

\[J=\frac{1}{J^{*}}\]

¡Lo veremos con mejor detalle en los ejercicios!

Cambio lineal de variables

En esta sección aprenderemos una forma especial de sustituir variables en integrales dobles. Dicha forma es cuando hacemos una transformación lineal. Considere una transformación lineal \(T\) así:

\[\left\{\begin{array}{l}x=a u+b v \\ y=c u+d v\end{array}\right.\]

(Siendo \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) constantes)

El determinante Jacobiano será dado por

\[J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c\]

Por tanto, cuando tenemos un cambio lineal de variables, el Jacobiano de esa transformación siempre será un número.

Ejemplo: calcule 

\[\iint_{D} e^{\frac{y-z}{y+z}} d x d y\]

Donde \(D\) es la región triangular limitada por la recta \(y+x=2\) y los ejes de coordenadas. 

Paso 1: observando la integral, vemos que el exponente \(\frac{y-x}{y+x}\) no es una expresión muy simple. Entonces, vamos a intentar simplificarla por medio de las sustituciones. ¿No sería mucho mejor si solo tuviéramos \(e^{\frac{u}{v}}\)? Es lo que haremos, para eso, vamos a definir:

\(u=y-x\) y \(v=y+x\)

Sumando las expresiones tendremos

 \[u+v=2 y\]

Restando las expresiones tendremos

\[v-u=2 x\]

Por tanto:

\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{v-u}{2} \\ y=\frac{u+v}{2}\end{array}\right.\]

Paso 2: Ya escogimos la sustitución, ahora vamos a calcular el Jacobiano, 

Tenemos: 

\[\frac{\partial x}{\partial u}=-\frac{1}{2}\]

\[\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{2}\]

\[\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{2}\]

\[\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{2}\]

\[J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right|=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\]

\[|J|=\frac{1}{2}\]

Paso 3: ahora vamos a calcular los nuevos intervalos. Antes teníamos \(y+x=2\) y los ejes de coordenadas \(x=0\) y \(y=0\) limitando la región de integración, vamos a sustituir las nuevas variables en esas expresiones:

\[x=0 \rightarrow \frac{v-u}{2}=0 \rightarrow u=v\]

\[y=0 \rightarrow \frac{u+v}{2}=0 \rightarrow u=-v\]

\[y+x=2 \rightarrow \frac{v-u}{2}+\frac{u+v}{2}=2 \rightarrow v=2\]

En el plano \(uv\), esas expresiones definen la siguiente región:

Paso 4: Vamos a escribir ese dominio como de tipo II (a la izquierda y a la derecha tenemos funciones mientras que arriba y abajo tenemos números). Como podemos ver, \(v\) varía de \(0\) a \(2\), por tanto:

\[0 \leq v \leq 2\]

La variable \(u\) está entre la recta azul \(-v=u\) y la roja \(v=u\), de esta manera tenemos:

\[-v \leq u \leq v\] 

Paso 5: la integral pasa a ser, entonces

\[\int_{0}^{2} \int_{-v}^{v} e^{\frac{u}{v}}\left(\frac{1}{2}\right) d u d v=\]

\[=\left.\frac{1}{2} \int_{0}^{2} v e^{\frac{u}{v}}\right|_{u=-v} ^{u=v} d v=\]

\[=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} v\left(e^{\frac{v}{v}}-e^{-\frac{v}{v}}\right) d v=\]

\[=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} v\left(e-\frac{1}{e}\right) d v=\]

\[=\left.\frac{v^{2}}{4}\left(e-\frac{1}{e}\right)\right|_{0} ^{2}=\]

\[=e-\frac{1}{e}\]

Y eso es todo, ¡Vamos a los ejercicios!