Cálculo de volumenes mediante integrales dobles

En el primer tema dijimos que las integrales dobles pueden representar volúmenes. Imagina que queremos el volumen entre la función \(f(x, y)\) y el plano \(xy\) dentro del rectángulo \(R\), como en la siguiente figura:

Tenemos que el volumen será dado por la integral doble, es decir

\[V=\iint_{R} f(x, y) d x d y \space \text{ o } \space \iint_{R} f(x, y) d A\]

(siendo \(A\) el área de \(R\))

En la práctica

Imagina que queremos calcular el volumen de la región limitada por los planos \(x=0, y=0\) y \(x+y+z=1\).

Primero, debemos trazar la región:

Podemos reescribir el último plano como \(f(x, y)=z=1-x-y\) y pensar que queremos el volumen entre la superficie del plano inclinado y la región del plano \(xy\) formada por el siguiente triángulo:

¿Cómo obtuvimos ese triángulo? A través del gráfico vemos que el dominio es limitado por los ejes cartesianos y por la intersección del plano \(x+y+z=1\) con el plano \(xy\), es decir, por la recta \(x+y=1\). Entonces, \(f(x, y)=1-x-y\) representa la “altura” de la región en cada punto y \(dA\) representa el área sobre dicha altura. Llamando a esa región plana como \(D\), tenemos que:

\[V=\iint_{D} f(x, y) d A=\iint_{D}(1-x-y) d x d y\]

Es decir, el volumen que queremos es la integral de la función que representa el plano inclinado en la región plana que trazamos anteriormente.

Por tanto, necesitamos escribir matemáticamente a la región \(D\), como siempre hicimos en las integrales dobles.

Como mencionamos, para descubrir la ecuación de la recta inclinada hacemos la intersección del plano \(z=1-x-y\) con \(z=0\), lo que nos da:

\[0=1-x-y\]

\[y=1-x\]

Escribiendo la región plana como tipo \(I\), tenemos que \(y\) está entre las rectas \(y=0\) y \(y=1-x\), mientras que \(x\) está entre \(x=0\) y \(x=1\). Por tanto, \(0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq x \leq 1\). Llevándolo a la integral:

\[V=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(1-x-y) d y d x\]

¡Y resolvemos!

Veamos un ejemplo un poco más complejo.

Calculemos el volumen de la región limitada por los paraboloides \(z=x^{2}+y^{2}\) y \(z=4-x^{2}-y^{2}\).

La región es esta:

Podemos pensar que está limitada por las dos funciones \(f(x, y)=z=x^{2}+y^{2}\) y \(g(x, y)=z=4-x^{2}-y^{2}\).

¿La “altura” de esa región no siempre será \(z \text { del paraboloide naranja}\)\(-\)\(z \text { del paraboloide azul}\)? Es decir, esa “altura” es \(g(x, y)-f(x, y)\).

Bien, si para hallar el volumen de la región, tenemos que integrar una altura en un área, solo decimos que

\[V=\iint_{D} g(x, y)-f(x, y) d A\]

\[V=\iint_{D}\left(4-x^{2}-y^{2}\right)-\left(x^{2}+y^{2}\right) d A=\iint_{D}\left(4-2 x^{2}-2 y^{2}\right) d A\]

Donde \(D\) es el área que limita el volumen en el plano \(xy\) (la proyección del volumen):

Escribimos la región \(D\) como en cualquier integral doble. Como es un círculo, utilizamos coordenadas polares. 

\[x=r \cos \theta\]

\[y=r \operatorname{sen} \theta\]

\[J=r\]

El círculo es definido como \(0 \leq r \leq \sqrt{2}\) y \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\).

El límite \(\sqrt{2}\) del radio puede ser encontrado haciendo la intersección entre los paraboloides:

\[z=x^{2}+y^{2}=4-x^{2}-y^{2}\]

\[x^{2}+y^{2}=2\]

Llevándolo a la integral, tenemos:

\[V=\iint_{D}\left(4-2 x^{2}-2 y^{2}\right) d A=2 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\sqrt{2}}\left(2-r^{2}\right) r d r d \theta\]

¡Y resolvemos! 

Entonces, la finalidad de este capítulo es entender cómo escribir el volumen mediante una integral doble (identificando quién es la “altura” y quién es el “área” que la limita en el plano).