Centro de masas y centroide de regiones planas

Centro de masas

Podemos entender el centro de masa de un cuerpo como el punto en el que se concentra toda su masa.

“¿Qué quieres decir?” Si tenemos un cuerpo de dos dimensiones (una placa, por ejemplo) y queremos tratarlo en un problema como una masa puntual, dicho punto debe ser el centro de masa.

Bien, veámoslo desde el punto de vista matemático. Siendo \(\delta(x, y)\) la densidad de masa de la placa, sabemos que su masa es dada por la integración de esa función en la región plana \(D\) ocupada por ese cuerpo:

\[M=\iint_{D} \delta(x, y) d A\]

El primer momento en relación a \(x\) es dado por la integración de la densidad multiplicada por la distancia de cada punto de la placa al eje \(x\) (ten en cuenta que esa distancia es exactamente igual a \(y\)). Por tanto:

\[M_{x}=\iint_{D} y \delta(x, y) d A\]

Puedes interpretar la expresión como , es decir, la suma de cada diferencial de masa de la placa multiplicado por su brazo de palanca. 

El momento en relación al eje \(y\) sigue siendo el mismo razonamiento, la distancia desde cada punto de la placa a ese eje será dada por \(x\):

\[M_{y}=\iint_{D} x \delta(x, y) d A\]

Entonces, tenemos que la coordenada \(\bar{x}\) del centro de masas es dada por:

\[\bar{x}=\frac{M_{y}}{M}=\frac{\iint_{D} x \delta(x, y) d A}{\iint_{D} \delta(x, y) d A}\]

Mientras que la coordenada \(\bar{y}\):

\[\bar{y}=\frac{M_{x}}{M}=\frac{\iint_{D} y \delta(x, y) d A}{\iint_{D} \delta(x, y) d A}\]

Puedes pensar que estas expresiones son medias ponderadas, donde el peso es la masa de la placa. ¿Cómo así?

\(M_{y}\) es dado por la multiplicación entre la masa y la coordenada \(x\). Si sumamos \(M_{y}\) para cada punto de la placa y dividimos por la masa total de la misma, tendremos una “coordenada \(x\) media”, ¿cierto? De eso se trata el centro de masas.

¡Veamos un ejemplo!

Ejemplo: encuentre la coordenada \(\bar {x}\) del centro de masa de la región plana \(D\) limitada por \(0 \leq x \leq 1\) y \(0 \leq y \leq 2\), que posee densidad de masa \(\delta(x, y)=x\).

Paso 1

Sabemos que:

\[\bar{x}=\frac{M_{y}}{M}\]

Por tanto, necesitamos de dos valores para resolver el problema: la masa \(M\) y el momento \(M_{y}\).

Paso 2

Vamos a calcular la masa \(M\) de la región, integrando su densidad a lo largo de \(D\):

\[M=\iint_{D} \delta(x, y) d A\]

Como \(D\) es dada por \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq 2\) y \(\delta(x, y)=x\), tenemos:

\[M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x d x d y\]

\[=\left.\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1} d y=\]

\[=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} d y=\]

\[=\left.\frac{1}{2} y\right|_{0} ^{2}=\]

\[=1\]

Paso 3

Necesitamos el momento:

\[M_{y}=\iint_{D} x \delta(x, y) d A\]

Sustituyendo \(0 \leq x \leq 1\) y \(0 \leq y \leq 2\) y \(\delta(x, y)=x\):

\[M_{y}=\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^{2} d x d y\]

\[=\left.\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1} d y=\]

\[=\frac{1}{3} \int_{0}^{2} d y=\]

\[=\left.\frac{1}{3} y\right|_{0} ^{2}=\]

\[=\frac{2}{3}\]

Paso 4

Y obtenemos esto:

\[\bar{x}=\frac{M_{y}}{M}=\frac{2 / 3}{1}=\frac{2}{3}\]

Encontramos la coordenada \(\bar {x}\) del centro de masa.

Bien, en este tipo de problemas, básicamente necesitamos encontrar la masa de la región y el momento referente a la coordenada que pide el problema y, luego, hacer la relación entre estos valores.

Si la pregunta pide las dos coordenadas del centro de masa no es complicado, solo tienes que calcular \(M, M_{x}\) y \(M_{y}\). Tendrás que armar y resolver una integral doble para cada una de esas magnitudes. 

Centroide

El centroide es el centro geométrico de una región (en este caso, estamos analizando regiones planas). De la misma forma que el centro de masas, este puede ser interpretado como una media ponderada donde el peso es la masa de la región, podemos ver el centroide como una media donde el peso es el área:

Siguiendo el mismo razonamiento, tenemos el área de una región plana \(D\):

\[A=\iint_{D} d A\]

Entonces, las coordenadas del centroide de una región plana son dadas por:

Ves que es parecido al centro de masas, ¿cierto? Ten en cuenta que cuando \(\delta(x, y)= \text {constante}\), las expresiones son exactamente iguales. Eso quiere decir que, en regiones con densidad constante, homogénea, el centro de masa y el centroide (centro geométrico) coinciden.

Estos dos conceptos son extremadamente similares, el paso a paso es el mismo, la diferencia será si la densidad aparecerá o no en las expresiones.

¡Vamos a los ejercicios!