Momento de inercia y Radio de rotación de regiones planas

El momento de inercia (o segundo momento) de una partícula en relación a un eje es definido como \(m r^{2}\), donde \(m\) es la masa de la partícula y \(r\) es la distancia entre dicho eje y la partícula.

Si quisiéramos calcular el momento de inercia en relación al eje \(x\) de la placa \(D\) con densidad \(\delta(x, y)\), tendremos que la distancia \(r\) coincide con la coordenada \(y\). De esta manera,

\[I_{x}=\iint_{D} y^{2} d m=\iint_{D} y^{2} \delta(x, y) d A\]

Para el momento de inercia en relación a \(y\), tenemos lo contrario: la distancia es \(x\)

\[I_{y}=\iint_{D} x^{2} d m=\iint_{D} x^{2} \delta(x, y) d A\]

Entonces, básicamente: cuando un problema te pide calcular el momento de inercia de una región plana en relación a un eje (\(x\) o \(y\)), aplicarás una de esas dos fórmulas y obtendrás una integral doble.

¡Es como cualquier integral! Entonces, memoriza las fórmulas porque este solo es el \(1er\) paso para este tipo de problemas. Vas a aplicar la fórmula, armar la integral y resolverla. 

En ocasiones el problema pide el momento de inercia en relación al origen. Para eso, solo debemos sumar los dos momentos de inercia que calculamos, es decir

\[I_{o}=I_{x}+I_{y}\]

Ejemplo: dada una placa fina limitada por la recta \(x+y=1\) y por los ejes \(x\) y \(y\), sabiendo que su densidad es \(\delta(x, y)=x^{2}+1\). Determine los momentos de inercia:

Paso 1: analizar la placa en cuestión:

No importa el tipo de región que hagamos, vamos a elegir el tipo \(I\), con eso:

\[0 \leq y \leq 1-x\]

\[0 \leq x \leq 1\]

Paso 2: para calcular los radios de rotación necesitaremos de los momentos de inercia. Las fórmulas son estas:

\[I_{x}=\iint_{D} y^{2} \delta(x, y) d A\]

\[I_{y}=\iint_{D} x^{2} \delta(x, y) d A\]

Entonces:

\[I_{x}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} y^{2}\left(x^{2}+1\right) d y d x=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x^{2} y^{2}+y^{2} d y d x=\frac{4}{45}\]

Lo mismo para \(I_{y}:\)

\[I_{y}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x^{2}\left(x^{2}+1\right) d y d x=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x^{4}+x^{2} d y d x=\frac{7}{60}\]

Falta hallar el momento de inercia en relación al origen, ¿Cómo lo calculamos? Es fácil, solo hacemos

\[I_{0}=I_{x}+I_{y}\]

Entonces:

\[I_{0}=\frac{4}{45}+\frac{7}{60}=\frac{37}{180}\]

Radio de Rotación

A todos los físicos, en general, les gusta mucho trabajar con cuestiones que concentren toda la información del problema en un solo punto. Pues esto facilita la resolución de los cálculos. ¡El radio de rotación tiene que ver con esto!

Este nos dice que la distancia de un eje a la masa total de la placa puede estar concentrada en un punto de forma que no cambie el momento de inercia. Super abstracto, ¿verdad? Por ejemplo, \(R_{x}\) es la distancia al eje \(x\) que un punto con toda la masa concentrada del objeto resulta en \(I_{x}\).

Si no entiendes, no te preocupes. Ese es el significado físico, vamos a trabajar con otros problemas más adelante, en la práctica solo debemos aplicar las siguientes fórmulas.

Las fórmulas que vamos a utilizar para calcular el radio de rotación en relación a los ejes son estas:

En relación al eje \(x\):

\[R_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{M}}\]

En relación al eje \(y\):

\[R_{y}=\sqrt{\frac{I_{y}}{M}}\]

También podemos hallar el radio de rotación en relación al origen, para eso utilizamos:

  \[R_{0}=\sqrt{\frac{I_{0}}{M}}\]

Ejemplo

Vamos a calcular el radio de rotación de la región del principio.

Paso 1: para calcular los radios de rotación vamos a necesitar los momentos de inercia. Como vimos anteriormente:

\[I_{x}=\frac{4}{45}, \quad I_{y}=\frac{7}{60}, \quad I_{0}=\frac{37}{180}\]

Paso 2: la otra variable que debemos calcular es la masa total de la placa, dada por la fórmula

\[M=\iint_{D} \delta(x, y) d A\]

Entonces: 

\[M=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x^{2}+1 d y d x=\frac{7}{12}\]

Paso 3: sustituir todo en las fórmulas de los radios de rotación

\[R_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{M}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{4}{45}\right)}{\left(\frac{7}{12}\right)}}=\sqrt{\frac{16}{105}} \cong 0,39\]

\[R_{y}=\sqrt{\frac{I_{y}}{M}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{7}{60}\right)}{\left(\frac{7}{12}\right)}}=\sqrt{\frac{12}{60} \cong 0,45}\]

\[R_{0}=\sqrt{\frac{I_{0}}{M}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{37}{180}\right)}{\left(\frac{7}{12}\right)}}=\sqrt{\frac{37}{105}} \cong 0,59\]

Probablemente en el examen no tengas una calculadora para poder sacar la aproximación, así que deja la expresión en forma de raíz. 

¿Pudiste notar que la parte tardada es calcular el momento de inercia y la masa? El resto es aplicar las fórmulas de los radios de rotación. 

¡Vamos a los ejercicios!