EDO de orden superior

Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre las derivadas de orden superior a \(2\). Para lo que viene, debemos recordar que:

\[\mathscr{L}\left\{f^{n}(t)\right\}=s^{n} \mathscr{L}\{f(t)\}-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\ldots-s f^{n-2}(0)-f^{n-1}(0)\]

Es decir, la transformada de una derivada de orden \(3\), será:

\[\mathscr{L}\left\{f^{3}(t)\right\}=s^{3} \mathscr{L}\{f(t)\}-s^{2} f(0)-s f^{\prime}(0)-f^{\prime \prime}(0)\]

Ahora, diferente a la de segundo orden, además de saber \(f(0)\) y \(f^{\prime}(0)\), tendrás que conocer a \(f^{\prime \prime}(0)\)

Para orden \(4\), algo muy similar:

\[\mathscr{L}\left\{f^{4}(t)\right\}=s^{4} \mathscr{L}\{f(t)\}-s^{3} f(0)-s^{2} f^{\prime}(0)-s f^{\prime \prime}(0)-f^{\prime \prime \prime}(0)\]

También tendrás que saber que \(f^{\prime \prime \prime}(0)\). Solo debes seguir el patrón. El grado \(s\) irá disminuyendo uno a uno, mientras que el orden de la derivada \(f\) en el punto cero irá aumentando en la misma proporción. Después del primer término, todos los signos también son negativos.

EDO de orden superior

La fórmula anterior, sumado a lo que hemos visto, es todo lo que necesitamos para resolver las EDOs que queremos. Veamos un ejemplo:

Vamos a resolver la siguiente EDO:

\[\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime \prime}(t)+y^{\prime}(t)=1 \\ y(0)=y^{\prime}(0)=y^{\prime \prime}(0)=y^{\prime \prime \prime}(0)=0\end{array}\right.\]

Vamos a aplicar Laplace en la parte superior, como hemos hecho hasta ahora:

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime \prime}+y^{\prime}\right\}=\mathscr{L}\{1\}\]

Como la transformada de Laplace es lineal:

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime \prime \prime}\right\}+\mathscr{L}\left\{y^{\prime}\right\}=\mathscr{L}\{1\}\]

Aplicamos la fórmula, recordando la transformada de \(1\) y la derivada de orden \(1\):

\[\left[s^{3} \mathscr{L}\{y\}-s^{2} y(0)-s y^{\prime}(0)-y^{\prime \prime}(0)\right]+[s \mathscr{L}\{y\}-y(0)]=\frac{1}{s}\]

Siendo \(Y(s)=\mathscr{L}\{y\}\) y sustituyendo las condiciones iniciales del problema, que son nulas:

\[s^{3} Y(s)+s Y(s)=\frac{1}{s}\]

Despejando \(Y(s)\)

\[s\left(s^{2}+1\right) Y(s)=\frac{1}{s} \Longrightarrow Y(s)=\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\]

Ahora, tenemos que hallar la inversa de \(Y(s)\) y tendremos \(y(t)\). Aplicando fracciones parciales, obtenemos que:

\[\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1}\]

Entonces:

\[y(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}-\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}\]

En transformadas inversas tradicionales vimos que la transformada de la primera es \(t\) y la de la segunda es \(\operatorname{sen}(t)\), entonces:

\[y(t)=t-\operatorname{sen}(t)\]

Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!