Transformadas inversas - Completando cuadrados

La transformada desplazada

Imagina que queremos calcular la transformada inversa de la siguiente función:

\[F(s)=\frac{1}{s-2}\]

Si:

\[\mathscr{L}\{1\}=\frac{1}{s}=G(s)\]

Entonces \(F(s)\) es \(G(s)\) desplazada en \(2\) unidades. Por tanto:

\[F(s)=G(s-2)\]

Cuando vimos la transformada, pudimos observar que la presencia de un exponencial la desplazada:

\[\mathscr{L}\left\{e^{a t} \cdot 1\right\}=\frac{1}{s-a}=\mathscr{L}\{1\}(s-a)\]

Y dicho desplazamiento es determinado por la constante que multiplica \(t\) en el exponencial. Así, la transformada inversa de:

\[F(s)=\frac{1}{s-2}\]

Es la transformada inversa de \(1/s\) con un exponencial multiplicandola. El exponencial tendrá constante \(2\), que es el número que aparece restando a \(s\) en la fracción anterior.

\[\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=L^{-1}\left\{\frac{1}{s-2}\right\}=1 \cdot e^{2 t}\]

Desplazamiento en seno y coseno 

También podemos ver el desplazamiento tanto en funciones seno como funciones coseno, como por ejemplo, si:

\[F(s)=\frac{1}{(s+5)^{2}+1}\]

Entonces:

\[\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathrm{e}^{-5 t} \operatorname{sen}(t)\]

Como puedes ver el signo de la constante siempre cambia. 

En el coseno, el desplazamiento tiene que aparecer en el numerador para también aplicar la transformada inversa:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+5)^{2}+1}\right\} \neq e^{-5 t} \cos (t)\]

Y si:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+5}{(s+5)^{2}+1}\right\}=e^{-5 t} \cos (t)\]

Completando cuadrados

No encontrarás una transformada sencilla que te ayude a hallar la inversa. Generalmente encontrarás algo así:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2 s+3}\right\}=? ?\]

Podemos descomponer eso en fracciones parciales, ya que las raíces no son reales. Debemos intentar dejar el denominador en la forma \((s+a)^{2}+b\) para hallar la inversa de la transformada como una transformada desplazada, tal como lo hicimos antes.

“¿Pero cómo llegamos a ese punto?” Simple, recuerda la distribución del cuadrado:

\[(s+a)^{2}=s^{2}+2 a s+a^{2}\]

Sustituyendo en la forma que queremos:

\[(s+a)^{2}+b=s^{2}+2 a s+a^{2}+b\]

Comparando con el polinomio del denominador e ignorando la constante, vemos que:

\[s^{2}+2 s+3 / / s^{2}+2 a s+a^{2}+b \Longrightarrow 2 a=2 \Longrightarrow a=1\]

Entonces debemos dejar el denominador en la forma:

\[(s+1)^{2}+b\]

Distribuyendo:

\[(s+1)^{2}+b=s^{2}+2s+1+b\]

Comparando con el denominador nuevamente:

\[s^{2}+2s+(1+b)=s^{2}+2s+3\Longrightarrow b=2\]

Entonces el denominador será:

\[s^{2}+2s+3=(s+1)^{2}+2\]

Poniéndolo en la transformada:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{\sqrt{2}}{s^{2}+2 s+3}\right\}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{\sqrt{2}}{(s+1)^{2}+2}\right\}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{\sqrt{2}}{(s+1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\right\}\]

Esa transformada es la transformada de:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\operatorname{sen}(a t)\]

Desplazada en \(1\) unidad y con \(a= \sqrt{2}\). Entonces:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{\sqrt{2}}{(s+1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\right\}=e^{-1 t} \operatorname{sen}(\sqrt{2} t)\]

Entonces, resumiendo, para completar cuadrados, necesitamos escribir el denominador en la forma:

\[(s+a)^{2}+ b\]

Para hallar \(a\), debes comparar el denominador con la distribución general de \((s+a)^{2}+ b\). Luego de hallar \(a\), debes distribuir \((s+a)^{2}+ b\) sustituyendo el valor de \(a\) y comparándolo con el denominador para hallar \(b\). Después de hallar ambos valores, sustituimos en la forma general:

\[(s+a)^{2}+b\]

Sustituimos el denominador por esta y calculamos la inversa de la transformada.