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EDO de coeficientes constantes - Convolución

Introducción

 

En esta ocasión, veremos cómo utilizar la convolución para resolver EDOs mediante Laplace. No será complicado, pero debes saber sobre la convolución. Por tanto, sería bueno que le dieras un repaso.

 

Entonces, debemos recordar que:

 

\[f(t)^{*} g(t)=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau=\int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau\]

 

Y que el teorema de la convolución es aquello que nos relaciona con la transformada de Laplace:

 

\[f(t)^{*} g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{\mathscr{L}\{f(t)\} \cdot \mathscr{L}\{g(t)\}\}\]

 

Es decir, la transformada inversa de un producto de transformadas es dado por la convolución de las funciones originales.

 

 EDO y convolución

 

Veamos la práctica. Tenemos la siguiente EDO:

 

Algunas veces, cuando estamos intentando reconocer \(y\) por su transformada de Laplace, reconocemos el producto de dos transformadas. Por ejemplo:

 

\[\left\{\begin{array}{c}y^{\prime}(t)-y(t)=\operatorname{sen}(t) \\ y(0)=0\end{array}\right.\]

 

Aplicando Laplace en la EDO:

 

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime}(t)-y(t)\right\}=\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\}\]

 

Como la EDO es lineal:

 

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime}(t)\right\}-\mathscr{L}\{y(t)\}=\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\}\]

 

Recordando la transformada de la derivada y del seno:

 

\[(s \mathscr{L}\{y(t)\}-y(0))-\mathscr{L}\{y(t)\}=\frac{1}{s^{2}+1}\]

 

Aplicando las condiciones iniciales y despejando la transformada que hallaremos:

 

\[Y(s)(s-1)=\frac{1}{s^{2}+1} \Longrightarrow Y(s)=\frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{s^{2}+1}\]

 

“¿Lo viste? ¿Te diste cuenta? ¿No?” Bueno, solo mira:

 

\[Y(s)=\frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{s^{2}+1}=\mathscr{L}\left[e^{t}\right](s) \cdot \mathscr{L}[\operatorname{sen}(t)](s)\]

 

El teorema de la convolución resuelve eso. Como vimos antes:

 

\[f(t)^{*} g(t)=\mathscr{L}^{-1}\{\mathscr{L}\{f(t)\} \cdot \mathscr{L}\{g(t)\}\}\]

 

Entonces

 

\[y=e^{t *} \operatorname{sen}(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{\mathscr{L}\left\{e^{t}\right\} \cdot \mathscr{L}\{\operatorname{sen}(t)\}\right\}\]

 

Y, por tanto:

 

\[y=e^{t *} \operatorname{sen}(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1} \cdot \frac{1}{s^{2}+1}\right\}\]

 

Que es lo que queremos calcular. Entonces para hallar la inversa de eso, solo debemos calcular la convolución. Para ello, usamos la definición:

\[f(t)^{*} g(t)=\int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau\]

 

\[y=e^{t *} \operatorname{sen}(t)=\int_{0}^{t} e^{t-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=\int_{0}^{t} e^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau\]

 

Usando la segunda integral, \(e^{t}\) es constante, entonces:

 

\[\int_{0}^{t} e^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=e^{t} \int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau\]

 

Para la integral, usamos la integración por partes:

 

\[\begin{aligned} u=\operatorname{sen}(\tau) & & v=-e^{-\tau} \\ d u=\cos (\tau) & d \tau & d v=e^{-\tau} d \tau \end{aligned}\]

 

Así:

 

\[\int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=u v-\int v d u=-\left.e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau)\right|_{0} ^{t}+\int_{0}^{t} e^{-\tau} \cos (\tau) d \tau\]

 

Por partes nuevamente, ahora con:

 

\[\begin{array}{cc}u=\cos (\tau) & v=-e^{-\tau} \\ d u=-\operatorname{sen}(\tau) d \tau & d v=e^{-\tau} d \tau\end{array}\]

 

Así:

 

\[\int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=-\left.e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau)\right|_{0} ^{t}-\left.e^{-\tau} \cos (\tau)\right|_{0} ^{t}-\int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau\]

 

La integral a la derecha es igual a la integral a la izquierda, entonces podemos juntar todo:

 

\[2 \int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=-\left.e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau)\right|_{0} ^{t}-\left.e^{-\tau} \cos (\tau)\right|_{0} ^{t}=-e^{-t} \operatorname{sen}(t)-e^{-t} \cos (t)+1\]

 

Despejando:

 

\[\int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=\frac{1}{2}\left[1-e^{-t}(\operatorname{sen}(t)+\cos (t))\right]\]

 

Entonces:

 

\[y=e^{t *} \operatorname{sen}(t)=e^{t} \int_{0}^{t} e^{-\tau} \operatorname{sen}(\tau) d \tau=\frac{1}{2}\left[\epsilon^{t}-\operatorname{sen}(t)-\cos (t)\right]\]

 

\[y(t)=\frac{1}{2}\left[e^{t}-\operatorname{sen}(t)-\cos (t)\right]\]

 

¿Ves? La convolución es una excelente herramienta para lidiar con el producto de transformadas conocidas. 

 

Para que no se nos escape nada… 

 

Podíamos haber utilizado fracciones parciales, ¿no?

 

Si, por supuesto. Muchos problemas de convolución también pueden ser resueltos por fracciones parciales. Cuando la pregunta no te de un método en específico, puedes escoger el de tu conveniencia. ¿Cuál es el más conveniente? Aquel que sea más simple según la situación. ¿Es más fácil de integrar? Convulación. ¿Es más fácil utilizar fracciones parciales? Depende. 

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