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EDO de 2do orden con coeficientes constantes

Introducción

 

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

 

Ya hemos visto la definición de la transformada de Laplace, cómo calcularla e incluso varias de sus propiedades. En esta ocasión vamos a utilizar todos esos conocimientos para resolver EDO’s.

 

Transformada de Laplace de derivadas

 

Antes de seguir, vale la pena repasar las transformadas de Laplace para derivadas. Anteriormente vimos que la transformada de una derivada de orden \(n\) es:

 

\[\mathscr{L}\left\{f^{n}(t)\right\}=s^{n} \mathscr{L}\{f(t)\}-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\ldots-s f^{n-2}(0)-f^{n-1}(0)\]

 

Traduciendo lo anterior, lo primera que aparecerá es una \(s\) elevada al orden de la derivada, multiplicando a la transformada de la función:

 

\[s^{n} \mathscr{L}\{f(t)\}\]

 

Luego, todos los términos tendrán signo negativo, este puede desaparecer a la hora de sustituir valores.

 

\[-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\ldots-s f^{n-2}(0)-f^{n-1}(0)\]

 

El grado de \(s\) disminuirá uno a uno en cada término hasta llegar a grado cero, mientras que el orden de \(f(0)\) irá aumentado uno a uno en cada término hasta llegar al grado de  \(n-1\).

 

No lo olvides. Para orden \(2\), tendremos:

 

\[\mathscr{L}\left\{f^{\prime \prime}(t)\right\}=s^{2} \mathscr{L}\{f(t)\}-s f(0)-f^{\prime}(0)\]

 

Y orden \(1\):

 

\[\mathscr{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=s \mathscr{L}\{f(t)\}-f(0)\]

 

Recuerda que necesitamos saber los valores iniciales de la función para calcular.

 

¿Entendiste todo? Sigamos. Si no es así, date una vuelta por las transformadas de derivadas nuevamente.

 

EDO y Laplace

 

Veamos un ejemplo práctico de este método, para así entender cómo funciona.

 

Ejemplo: resuelva el problema de valor inicial:

 

\[y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0\]

 

\[y(0)=1\]

 

\[y^{\prime}(0)=0\]

 

Probablemente hayas resuelto este tipo de problemas con anterioridad, a través del método de la ecuación característica. Pero ahora veremos cómo hacerlo a través de Laplace.

 

Paso 1: aplicar la transformada de Laplace a la ecuación. 

 

¿Recuerdas que la transformada de Laplace es lineal? Tenemos

 

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y\right\}=\mathscr{L}\left\{y^{\prime \prime}\right\}-\mathscr{L}\left\{y^{\prime}\right\}-2 \mathscr{L}\{y\}=0\] 

 

Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad de la Transformada de la derivada:

 

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime}\right\}=s \mathscr{L}\{y\}-y(0)\]

 

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime \prime}\right\}=s^{2} \mathscr{L}\{y\}-s y(0)-y^{\prime}(0)\]

 

Sustituyendo en la ecuación, tenemos:

 

\[\left(s^{2} \mathscr{L}\{y\}(s)-s y(0)-y^{\prime}(0)\right)-(s \mathscr{L}\{y\}-y(0))-2 \mathscr{L}\{y\}=0\]

 

Paso 2: sustituir los valores iniciales y despejar \(\mathscr{L}\{y\}\)

 

Como \(y(0)=1\) y \(y^{\prime}(0)=0\), tenemos:

 

\[\left(s^{2} \mathscr{L}\{y\}-s\right)-(s \mathscr{L}\{y\}-1)-2 \mathscr{L}\{y\}=0\]

 

\[s^{2} \mathscr{L}\{y\}-s-s \mathscr{L}\{y\}+1-2 \mathscr{L}\{y\}=0\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}\left(s^{2}-s-2\right)=s-1\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s-1}{s^{2}-s-2}\]

 

Paso 3: vamos a descomponer la expresión encontrada en fracciones parciales.

 

Si no recuerdas cómo hacerlo, puedes repasar el tema en donde hablamos sobre las transformadas tradicionales.

 

Las raíces de \(\left(s^{2}-s-2\right)\) son \(2\) y \(-1\), por tanto, podemos escribir \((s^{2}-s-2)=(s-2)(s+1)\)

 

\[\frac{s-1}{s^{2}-s-2}=\frac{a}{s-2}+\frac{b}{s+1}\]

 

Tenemos que juntar todo para hallar las constantes \(a\) y \(b\):

 

\[\frac{s-1}{s^{2}-s-2}=\frac{a(s+1)+b(s-2)}{(s-2)(s+1)}=\frac{a s+a+b s-2 b}{s^{2}-s-2}\]

 

Juntando los términos por los grados de \(s\):

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s-1}{s^{2}-s-2}=\frac{s(a+b)+(a-2 b)}{s^{2}-s-2}\]

 

Como el denominador es el mismo, tenemos:

 

\[s-1=s(a+b)+(a-2 b)\]

Por tanto:

 

\[\left\{\begin{array}{l}a+b=1 \quad \Longrightarrow \quad a=1-b \\ a-2 b=-1\end{array}\right.\]

 

\[(1-b)-2 b=-1 \quad \Longrightarrow \quad b=2 / 3\]

 

\[a=1-2 / 3 \quad \Longrightarrow \quad a=1 / 3\]

 

   \(1.\) Ya tenemos los coeficientes \(a\) y \(b\), solo debemos reescribir las fracciones que creamos:

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s-1}{s^{2}-s-2}=\frac{1 / 3}{s-2}+\frac{2 / 3}{s+1}\]

 

Paso 4: ahora que tenemos las fracciones parciales, necesitamos reconocer la función \(y\) por su transformada. Es decir, hallar la transformada inversa.

 

¿Recuerdas que \(\mathscr{L}\{e^{at}\}=1/(s-a)\)? Esta transformada se parece mucho a cada una de las fracciones parciales, ¿cierto? Entonces, vamos a reescribir las fracciones para reconocer la función:

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s-2}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{s+1}\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{1}{3} \mathscr{L}\left\{e^{2 t}\right\}+\frac{2}{3} \mathscr{L}\left\{e^{-t}\right\}\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\mathscr{L}\left\{\frac{1}{3} e^{2 t}+\frac{2}{3} e^{-t}\right\}\]

 

Por tanto, \(y\) es exactamente la expresión dentro de los corchetes de la transformada:

 

\[y(t)=\frac{1}{3} e^{2 t}+\frac{2}{3} e^{-t}\]

 

Recuerda que \(y\) es una función de \(t\), no de \(s\). No te confundas.

 

Tal vez te estés preguntado: ¿por qué resolver EDOs a través de Laplace? ¿Acaso el método antiguo no estaba bien?

 

Realmente, en ocasiones resolver por Laplace puede ser mucho más complicado, sin embargo, también tiene sus ventajas.

 

Una de ellas es que podemos trabajar con EDOs no homogéneas fácilmente (por si no lo recuerdas, las EDOs no homogéneas son aquellas que no tiene “\(0\)” del otro lado del “\(=\)”. 

 

En este caso, la única diferencia es que también tenemos que calcular la transformada de la función \(f(t)\) cuando apliquemos Laplace en la EDO. Otra ventaja es que no es necesario sustituir las condiciones iniciales, después a lo largo del método estas serán sustituidas (¿recuerdas que en la transformada de una derivada es necesario conocer los valores iniciales?)

 

Resolver este tipo de EDO no homogénea por el método de la ecuación característica es mucho más complicado.

 

Entonces, vamos a organizar las ideas para construir un paso a paso:

 

Pasos para resolver una EDO a través Laplace:

 

  \(1.\) Aplicar Laplace a la EDO;

 

  \(2.\) Despejar \(\mathscr{L}\{y\}\), encontrando una expresión para la transformada de \(y\)\) (no olvides sustituir los valores iniciales que dió el problema)

 

  \(3.\) Descomponer la expresión de \(\mathscr{L}\{y\}\) en fracciones parciales;

 

  \(4.\) Reconocer las funciones por sus transformadas (ver y “ajustar” cada fracción parcial separadamente).

 

Básicamente, todos los ejercicios de EDOs resueltos mediante Laplace seguirán este mismo patrón. La parte más complicada será reconocer la función \(y\) después de encontrar su transformada \(\mathscr{L}\{y\}\), quizá necesites aplicar un poco de álgebra. Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!

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