Sistemas de EDO

Introducción

Los sistemas de EDOs son como los sistemas de ecuaciones normales. En lugar de tener una sola variable a determinar, tenemos dos o más con el mismo número de ecuaciones independientes. ¿Qué opinas si vemos todo eso con un ejemplo?

Sistemas de EDO

Tenemos el siguiente ejemplo:

\[\left\{\begin{array}{rl}x^{\prime}=3 y+4 e^{5 t} & x(0)=1 \\ y^{\prime}=x-2 y & y(0)=0\end{array}\right.\]

¿Te parece complicado? Es mucho más fácil de lo que te imaginas. Comenzaremos haciendo lo mismo que hemos hecho hasta ahora: aplicar Laplace en todo el sistema.

\[\left\{\begin{array}{c}\mathscr{L}\left\{x^{\prime}\right\}=3 \mathscr{L}\{y\}+4 \mathscr{L}\left\{e^{5 t}\right\} \\ \mathscr{L}\left\{y^{\prime}\right\}=\mathscr{L}\{x\}-2 \mathscr{L}\{y\}\end{array}\right.\]

Sabemos que:

\[\mathscr{L}\left\{x^{\prime}\right\}=s \mathscr{L}\{x\}-x(0)\]

\[\mathscr{L}\left\{y^{\prime}\right\}=s \mathscr{L}\{y\}-y(0)\]

\[\mathscr{L}\left\{e^{5 t}\right\}=\frac{1}{(s-5)}\]

Sustituyendo:

\[s \mathscr{L}\{x\}-x(0)=3 \mathscr{L}\{y\}+\frac{4}{(s-5)}\]

\[s \mathscr{L}\{y\}-y(0)=\mathscr{L}\{x\}-2 \mathscr{L}\{y\} \Longrightarrow \mathscr{L}\{x\}=\mathscr{L}\{y\}(s+2)-y(0)\]

Como \(y(0)=0\):

\[\mathscr{L}\{x\}=\mathscr{L}\{y\}(s+2)\]

Vamos a resolver eso de la misma forma en la que resolvemos un sistema normal, solo que buscando determinar  \(\mathscr{L}\{x\}\) y  \(\mathscr{L}\{y\}\).

Sustituyendo \(\mathscr{L}\{x\}\) en la primera ecuación y sabiendo que \(x(0)=1\):

\[s(s+2) \mathscr{L}\{y\}-1=3 \mathscr{L}\{y\}+\frac{4}{s-5}\]

\[\left(s^{2}+2 s\right) \mathscr{L}\{y\}-3 \mathscr{L}\{y\}=\frac{4}{s-5}+1=\frac{s-1}{s-5}\]

\[\left(s^{2}+2 s-3\right) \mathscr{L}\{y\}=\frac{s-1}{s-5}\]

Así:

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s-1}{(s-5)\left(s^{2}+2 s-3\right)}\]

Pero como las raíces de \(s^{2}+2s-3\) son \(1\) y \(-3\), entonces podemos reescribir:

\[s^{2}+2 s-3=(s-1)(s+3)\]

Entonces:

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s-1}{(s-1)(s+3)(s-5)}\]

Cortando:

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{1}{(s+3)(s-5)}\]

Y como ya vimos:

\[\mathscr{L}\{x\}=(s+2) \mathscr{L}\{y\}=\frac{s+2}{(s+3)(s-5)}\]

Utilizando fracciones parciales: 

\[\frac{1}{(s+3)(s-5)}=\frac{a}{s+3}+\frac{b}{s-5}=\frac{(a+b) s+(3 b-5 a)}{(s+3)(s-5)}\]

Comparando los coeficientes de los polinomios:

\[\left\{\begin{array}{c}3 b-5 a=1 \\ a+b=0 \Longrightarrow a=-b\end{array}\right.\]

Sustituyendo la segunda en la primera:

\[-3 a-5 a=1 \Longrightarrow a=-\frac{1}{8}\]

Y:

\[b=\frac{1}{8}\]

Así:

\[\mathscr{L}\{y\}=-\frac{1}{8(s+3)}+\frac{1}{8(s-5)}\]

Usando la transformada de que \(L[e^{at}]=1/(s-a)\), llegamos a:

\[y(t)=-\frac{1}{8} e^{-3 t}+\frac{1}{8} e^{5 t}\]

Ahora, vamos a \(\mathscr{L}[x]\) para hallar \(x(t)\). Ya vimos que:

\[\mathscr{L}\{x\}=\mathscr{L}\{y\}(s+2)=\frac{s+2}{(s+3)(s-5)}\]

Usando fracciones parciales nuevamente:

\[\frac{s+2}{(s+3)(s-5)}=\frac{a}{s+3}+\frac{b}{s-5}=\frac{(a+b) s+(3 b-5 a)}{(s+3)(s-5)}\]

\[\left\{\begin{array}{c}a+b=1 \\ 3 b-5 a=2\end{array}\right.\]

Obtenemos:

\[a=\frac{1}{8} \quad b=\frac{7}{8}\]

Entonces tenemos:

\[\mathscr{L}\{x\}=\frac{1}{8(s+3)}+\frac{7}{8(s-5)}\]

Finalmente:

\[x(t)=\frac{1}{8} e^{-3 t}+\frac{7}{8} e^{5 t}\]

¿Ves? Es como resolver un sistema lineal normal, y luego aplicar la inversa de Laplace para descubrir la función. 

Pasos para resolver un sistema de EDO a través de Laplace:

  \(1.\) Aplicar Laplace a la EDO;

  \(2.\) Resolver el sistema, encontrando \(\mathscr{L}\{y\}\) y  \(\mathscr{L}\{x\}\) (no olvides sustituir los valores iniciales que da el problema). 

  \(3.\) Descomponer la expresión de \(\mathscr{L}\{y\}\) y \(\mathscr{L}\{x\}\), en caso de ser necesario;

  \(4.\) Reconocer las funciones por sus transformadas;