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Transformadas inversas

La transformada inversa

 

Haciendo uso de las analogías, podemos decir que: la transformada de Laplace es como intentar pasar armario por una puerta. El armario entero no cabe, por tanto, es desarmado para pasarlo pieza por pieza.

 

Es decir, muchas veces, tenemos que hacer una operación complicada (pasar por la puerta) en una función cualquiera (armario). Si le aplicamos la transformada de Laplace (desarmar el armario), la operación pasa a ser más sencilla para una función transformada (pieza por pieza).

 

Bien, entonces si desarmamos el armario, este podrá pasar pieza por pieza por la puerta. Pero no puedes dejarla las “piezas” tiradas en una esquina, tienes que volverlo a armar.

 

Lo mismo con la función. Aplicamos la transformada de Laplace para hacer una operación, pero luego devolvemos la variable de la función anterior, esta es la transformada inversa de Laplace. 

 

Transformadas inversas tradicionales

 

Para calcularlas, debemos mirar la transformada y pensar: ¿cuál función tiene esa transformada? Como la siguiente:

 

\[F(s)=\frac{1}{s^{2}+1}\]

 

¿Cuál es la transformada de Laplace que nos lleva a \(F(s)\)? \(F(s)\) es la transformada de Laplace de \(\operatorname{sen}(t)\), entonces la transformada inversa \(\mathscr{L}^{-1}\) de \(F(s)\) es:

 

\[\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=\operatorname{sen}(t)\]

 

Hallar la transformada inversa es recordar la transformada en sí. Entonces recordemos:

 

\[\mathscr{L}\left\{e^{a t}\right\}=\frac{1}{s-a}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}\]

 

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}} \Longrightarrow \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\operatorname{sen}(a t)\]

 

\[\mathscr{L}\{\cos (a t)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}} \Longrightarrow \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\cos (a t)\]

 

\[\mathscr{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{n !}{s^{n+1}}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{n !}{s^{n+1}}\right\}=t^{n}\]

 

Entonces, cuando aparezca algo así ya deberías saber que hacer. 

 

Cuidado con la constante

 

Ahora vamos a pensar en la transformada inversa de:

 

\[F(s)=\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\]

 

Parece la transformada de \(\operatorname{sen}(2t)\), ¿cierto? ¡Pues, no!

 

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\right\} \neq \operatorname{sen}(2 t)\]

 

Porque:

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(2 t)\}=\frac{2}{s^{2}+2^{2}}\]

 

Ya que la transformada general es:

 

\[\mathscr{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\]

 

\(a\) también aparece en el numerador.

 

Bien, ¿pero qué podemos hacer cuando necesitamos hallar la transformada inversa y las constantes no coinciden? Solamente dividimos y multiplicamos por la constante que necesitamos para que sea igual a la transformada que conocemos. Queremos:

 

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\right\}=? ?\]

 

Sabemos:

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^{2}+2^{2}}\right\}=\operatorname{sen}(2 t)\]

 

Dividimos y multiplicamos la transformada inversa que queremos por \(2\), da lo mismo que multiplicarla por \(1\):

 

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2^{2}}\right\}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{s^{2}+2^{2}}\right\}=\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^{2}+2^{2}}\right\}\]

 

La transformada inversa también es lineal, entonces:

 

\[\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^{2}+2^{2}}\right\}=\frac{1}{2} \cdot \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^{2}+2^{2}}\right\}=\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 t)\]

 

Estate siempre atento a las diferencias en las constantes. Cuando esto sucede solo debemos multiplicar y dividir por la constante que queremos, tal como en el ejemplo.

 

¿Y cuando está todo junto?

 

Ya hemos visto cómo hallar la inversa de transformadas sencillas, sin embargo, ¿qué ocurre cuando aparece esto?:

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}\]

 

¿Cómo la hallamos? Vamos a descomponer en fracciones parciales.

 

¿Por qué? Lo que queremos es encontrar \(y\), ¿cierto? Observa que, en la expresión anterior, tenemos su transformada. Entonces, vamos a intentar reconocer la función a partir de ella, para eso necesitamos descomponer la expresión.

 

Si no recuerdas cómo descomponer en fracciones parciales, se hace de la siguiente manera:

 

  \(1.\) Factorizar el denominador

 

Las raíces de \(\left(s^{2}+2 s-3\right)\) son \(-3\) y \(1\), por tanto, podemos escribir:

 

\[s^{2}+2 s-3=(s+3)(s-1)\]

 

Así:

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}=\frac{s}{(s+3)(s-1)}\]

 

  \(2.\) Igualar la expresión de \(\mathscr{L}\{y\}\) a la suma de fracciones con denominadores iguales a los términos que encontramos. “¿Cómo así?” Mira:

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s}{(s+3)(s-1)}=\frac{a}{s+3}+\frac{b}{s-1}\]

 

El numerador de las fracciones que creamos siempre debe tener un grado menor que el factor del denominador en una unidad. Por ejemplo: \((s-1)\), tenemos \(s^{1}\), entonces debemos tener en el denominador \(s^{0} =1\), es decir, un polinomio de grado cero (solo una constante).

 

  \(3.\) Hacer el MCM  de las fracciones. Juntarlas al mismo denominador.

 

“¿Acaso no la acabamos de separar?” Calma, pronto entenderás porqué lo estamos haciendo.

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}=\frac{a(s-1)+b(s+3)}{(s+3)(s-1)}\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}=\frac{a s-a+b s+3 b}{s^{2}+2 s-3}\]

 

  \(4.\) Bien, partiendo del principio de que las dos fracciones son iguales, vamos a encontrar los coeficientes \(a\) y \(b\).

 

Vamos a juntar los términos por los grados de \(s\):

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{s}{s^{2}+2 s-3}=\frac{s(a+b)+(-a+3 b)}{s^{2}+2 s-3}\]

 

Para que dos polinomios del mismo grado sean iguales, los coeficientes deben ser iguales. Como el denominador es el mismo, tenemos:

 

\[s=s(a+b)+(-a+3 b)\]

 

Por tanto 

 

\[\left\{\begin{array}{l}a+b=1\space \Longrightarrow\quad a=1-b \\ -a+3 b=0\end{array}\right.\]

 

\[-(1-b)+3 b=0 \quad \Longrightarrow \quad b=1 / 4\]

 

\[a=1-1 / 4 \quad \Longrightarrow \quad a=3 / 4\]

 

  \(5.\) Ahora que tenemos los términos \(a\) y \(b\), solo basta con reescribir las fracciones que creamos.

 

Ya tenemos las fracciones parciales, solo necesitamos reconocer la función \(y\) por su transformada. No olvides que la transformada es lineal.

 

¿Recuerdas que \(L\left\{e^{a t}\right\}=1 /(s-a)\)? Esta transformada se parece mucho a cada una de las fracciones parciales, ¿cierto? Entonces, vamos reescribir las fracciones para reconocer la función. 

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{s+3}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s-1}\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\frac{3}{4} \mathscr{L}\left\{e^{-3 t}\right\}+\frac{1}{4} \mathscr{L}\left\{e^{t}\right\}\]

 

\[\mathscr{L}\{y\}=\mathscr{L}\left\{\frac{3}{4} e^{-3 t}+\frac{1}{4} e^{t}\right\}\]

 

Por tanto, \(y\) es exactamente la expresión dentro de los corchetes de la transformada:

 

\[y(t)=\frac{3}{4} e^{-3 t}+\frac{1}{4} e^{t}\]

 

Observa que \(y\) es una función de \(t\), no de \(s\). No te confundas.

 

Además de las transformadas como las que vimos antes, pueden aparecer polinomios de segundo grado sin raíces reales, como:

 

\[F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\]

 

Cuando esto ocurre, lo separamos así:

 

\[\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}=\frac{a}{s}+\frac{b s+c}{s^{2}+1}\]

 

En el numerador de la fracción con el polinomio de segundo grado, deberá aparecer dos constantes, una que multiplica a \(s\) (en este caso \(b\)) y otra suelta (en este caso \(c\)). Es decir, aparecerá un polinomio de primer grado en el numerador. 

 

Además, también pueden aparecer términos repetidos, cómo en el siguiente ejemplo:

 

\[\frac{1}{(s+1)^{3} s}=\frac{a}{(s+1)^{3}}+\frac{b}{(s+1)^{2}}+\frac{c}{s+1}+\frac{d}{s}\]

 

Cuando aparezca un término repetido como \((s+1)^{3})\), que es \((s+1)\) repetido tres veces, tendrás que escribir una fracción para cado grado.

 

Si aparece un polinomio de \(1^{º}\) grado, un polinomio de \(2^{º}\) grado irreducible o un término repetido, el procedimiento para hallar las constantes de la descomposición en fracciones parciales es el mismo que vimos en el primer caso. 

 

Eso es todo, ¡vamos a practicar!

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