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Transformada inversa de funciones exponenciales

¡Bienvenidos, espero que estén genial! En esta oportunidad vamos a estudiar la transformada inversa de las funciones exponenciales. Veamos un ejemplo de la función:

 

\[F(s)=\frac{e^{-5 s}}{s^{2}}\]

 

Como puedes ver, tenemos la parte exponencial en el numerador que multiplica otra función. “¿Cómo que multiplica? Si veo que está dividiendo”.

 

Calma, tenemos que ver la función de esta forma:

 

\[F(s)=e^{-5 s} \cdot \frac{1}{s^{2}}\]

 

Bien, vamos a repasar el tema de la transformada con exponencial para así poder resolver la transformada inversa de esa función.

 

Transformada con exponencial

 

Una función escalón, centrada en un punto \(c\) cualquiera, es dada por:

 

\[u_{c}(t)=u(t-c)=\left\{\begin{array}{l}0, \quad t<c \\ 1, t \geq c\end{array}\right.\]

 

Y la transformada de una función desplazada para \(c\) y multiplicada por un escalón (también en \(c\)) es:

 

\[L\{f(t-c) u(t-c)\}=e^{-c s} L\{f(t)\}\]

 

Ten en cuenta que cuando hicimos la transformada, hallamos un término \(e^{-cs}\) multiplicado por la función. Como puedes ver el resultado tiene el mismo formato del ejemplo en el cual estamos buscando la transformada inversa, donde \(c=5\).

 

Si te resulta confuso, vuelve al tema en donde hablamos sobre la transformada de la función escalón. 

 

Transformada inversa y exponenciales

 

Ahora vamos a aprender a realizar la transformada inversa del ejemplo. Esta:

 

\[F(s)=e^{-5 s} \cdot \frac{1}{s^{2}}\]

 

La transformada inversa de \(1/s^{2}\) es \(t\).

 

Debemos analizar la presencia de \(e^{-5s}\).

 

La presencia del exponencial indica que la función original está desplazada. Entonces:

 

\[t \rightarrow(t-c)\]

 

Y multiplicada por un escalón:

\[(t-c) \rightarrow(t-c) u(t-c)\]

 

¿Cuál es el valor de dicho desplazamiento? Es igual a la constante del exponencial. La constante del exponencial es \(5\), entonces:

 

\[(t-c) u(t-c) \rightarrow(t-5) u(t-5)\]

 

Por tanto,

\[L^{-1}\{F(s)\}=L^{-1}\left\{e^{-5 s} \cdot \frac{1}{s^{2}}\right\}=(t-5) u(t-5)\]

 

Entonces, si la transformada de Laplace es:

 

\[L\{f(t-c) u(t-c)\}=e^{-c s} L\{f(t)\}\]

 

La transformada inversa será:

 

\[L^{-1}\left\{e^{-c s} L\{f(t)\}\right\}=f(t-c) u(t-c)\]

 

Es decir, cuando quieras calcular la transformada inversa de una transformada con exponencial, tendrás un escalón en la respuesta. 

 

Dicho lo anterior, vamos a terminar el ejemplo:

 

\[L^{-1}\left\{e^{-5 s} \cdot \frac{1}{s^{2}}\right\}=(t-5) u(t-5)\]

 

Ten en cuenta que no basta con tomar la transformada inversa de la parte sin exponencial y poner un escalón multiplicandola. También debes desplazarla.

 

Entonces, una de las razones por las que debes estar atento es que:

 

\[L^{-1}\left\{e^{-c s} L\{f(t)\}\right\} \neq f(t) u(t-c)\]

 

Es decir, no puedes olvidar el desplazamiento en \(f\).

 

En resúmen, lo que siempre haremos es:

 

   \(\bullet\) Exponencial en la transformada \(\longrightarrow\) escalón en la función y función desplazada al punto central del escalón. El signo de la constante y del desplazamiento no cambia.

 

   \(\bullet\) Desplazamiento en la transformada \(\longrightarrow\) Exponencial en la función. El signo del desplazamiento y de la constante del exponencial se intercambian.

 

Y eso es todo, ¡vamos a practicar!

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