Densidad de Corriente Uniforme

Densidad de Corriente

La densidad de corriente es casi una extensión de la densidad de carga, que ya estudiamos, sólo que mucho menos complicada porque no tenemos que seguir haciendo integrales (todavía). La densidad de corriente, representada por la letra \(J\), es un vector del flujo de cargas a través de la sección recta de un conductor en un determinado punto.

La densidad de corriente apunta en la dirección y sentido en que fluye la corriente. ¿Recuerdas que cuando vimos corriente eléctrica, definimos que el sentido del circuito era dado por el sentido del flujo de las cargas positivas? Entonces, el vector densidad de corriente tiene la misma dirección y sentido que el flujo de cargas positivas, y un sentido opuesto al flujo de cargas negativas. 

Si la corriente está uniformemente distribuida en la sección recta de un elemento de circuito, el módulo de la densidad de corriente es la relación entre la corriente que fluye en esta sección recta y el área de la sección. 

\(\vec{J}=\frac{i}{A} \hat{s}\)

\(\hat{s}\): vector unitario que da la dirección del flujo de corriente.

La unidad de medida de la densidad de corriente es \(\left[A / m^{2}\right]\).

Densidad de Corriente Uniforme

Por ejemplo: Imagine un cable de sección transversal circular que conduce una determinada corriente eléctrica \(i\), okay? Si la corriente se distribuye uniformemente a lo largo de la sección recta, la densidad de corriente será dada por:

\(J=\frac{i}{A} \rightarrow J=\frac{i}{\pi r^{2}}\)

Por tanto, la corriente eléctrica variará (¿no te parece rara esa palabra?) con el radio de la siguiente manera:

\(i=J \pi r^{2}\)

Si analizamos un gráfico de la corriente \(i\) en función de \(r^{2}\), veremos que el coeficiente angular de la recta será \(J \pi\). 

Velocidad de Deriva

Allá atrás, mencioné que podemos pensar en la corriente eléctrica como una especie de velocidad. De tal manera, podemos escribir la velocidad media de desplazamiento de los electrones en función de la corriente eléctrica o de la densidad de corriente.

Es esa velocidad de desplazamiento la que vamos a llamar velocidad de deriva \(\left(v_{d}\right)\), ¿bien?

Piensa conmigo… si \(q\) es la cantidad de carga que pasa por el conductor en un determinado intervalo de tiempo, podemos escribir lo siguiente:

\(q=N e\)

Donde \(N\) es la cantidad total de electrones y \(“e”\) es la carga elemental (carga de un electrón).

En ese caso, podemos decir que el número de cargas que caben en un pedazo de cable \(L\) es \(n A L\), donde \(n\) es el número de electrones por unidad de volumen y \(A\) es el área de la sección transversal. 

Por tanto:

\(q=n A L e\)

La velocidad con que los electrones atraviesan ese mismo pedazo de cable \(L\) es:

\(v_{d}=\frac{L}{t} \rightarrow t=\frac{L}{v_{d}}\)

Ya tenemos \(q\) y \(t\)...si los sustituimos en la expresión de corriente, tendremos:

\(i=\frac{q}{t}=\frac{n A L e}{\frac{L}{v_{d}}} \rightarrow i=n A e v_{d}\)

Si reorganizamos cada término, vamos a tener lo siguiente:

\(v_{d}=\frac{i}{n A e}\)

\(v_{d}=\frac{J}{n e}\)

Bien, con eso ya podemos rompernos un poco la cabeza.