Circuito RC

Introducción

El modelo más sencillo de un circuito RC está compuesto por una fuente, una resistencia y un condensador.

¿Qué es un condensador?

El condensador generalmente está constituido por dos placas paralelas, al principio, sin ninguna carga, y que comienza a cargarse tan pronto como el condensador se conecta al circuito y la corriente empieza a atravesarlo. 

La diferencia de potencial del condensador cuando este está cargado es:

\[V_{C}=\frac{q}{C}\]

Cuando estamos trabajando con circuitos, tenemos que considerar que:

• Si atravesamos el condensador en el mismo sentido de la corriente, la diferencia de potencial será \(\left(-\frac{q}{C}\right)\);

• Si atravesamos el condensador en sentido opuesto al de la corriente, la diferencia de potencial será \(\left(+\frac{q}{C}\right)\);

Donde \(q\) es la carga del condensador y \(C\) la capacidad eléctrica. 

Carga del Condensador

Vamos a imaginar un circuito simple con una resistencia y un condensador:

De acuerdo con la Regla de Malla, tendremos una algo así:

\[\mathscr{E}-i R-\frac{q}{C}=0\]

Donde, por definición:

\[i=\frac{d q}{d t}\]

Así que nos quedamos con esta ecuación:

\[\mathscr{E}=R \frac{d q}{d t}+\frac{q}{C}\]

Esa es una ecuación diferencial de primer orden, pero tranquilo, no tienes de qué preocuparte, yo te ayudaré.

Antes de continuar y ver algunas fórmulas que pueden parecer extrañas (y lo son), no hay necesidad de preocuparse, porque lo más importante es entender cómo funciona el condensador en un circuito.

Dicha ecuación diferencial tiene la siguiente solución:

\[q=C \mathscr{E}\left(1-e^{-\frac{t}{R C}}\right)\]

(Carga durante la carga de un condensador)

Esa ecuación muestra como varía la carga del condensador en función del tiempo. 

Ahora aparece un factor importante, llamado constante de tiempo del circuito, dada por:

\[\tau=R C\]

A partir de esa fórmula podemos concluir dos cosas:

• Cuando \(t=0, q=0 \ldots\) que es justo el momento inmediatamente después de que la corriente comienza a pasar por el condensador; 

• Cuando \(t \rightarrow \infty, q=C \mathscr{E} \ldots\) que se trata de la carga máxima del capacitor \(q_{0}\), cuando está completamente cargado.

Ahora vamos a darle un vistazo a lo que ocurre con la corriente del condensador.

\[i=\frac{d q}{d t}\]

\[i=\left(\frac{\mathscr{E}}{R}\right) e^{-\frac{t}{R C}}\]

(Corriente durante la carga de un condensador)

Dos conclusiones que podemos sacar de la fórmula

• Cuando \(t=0, i=\mathscr{E} / R \ldots\) que es el momento inmediatamente después de que la corriente comience a pasar por el condensador, se trata de la corriente máxima que pasa por él. 

• Cuando \(t \rightarrow \infty, i=0 \ldots\) es decir, cuando el condensador está completamente cargado, la corriente simplemente deja de pasar a través de él. Si el condensador está conectado en paralelo al resto del circuito, la corriente deja de pasar por donde se encuentra el condensador.

En el caso del circuito que montamos allí arriba, aunque haya una fuente y una resistencia, la corriente no fluirá más.

Descarga del Condensador 

Una vez que el condensador esté cargado, ¿qué pasa si sacamos la fuente?

Si hacemos eso, en el circuito sólo quedarán el condensador y la resistencia, en ese caso el condensador pasará a actuar como fuente hasta que la carga en él se anule nuevamente… se trata de la descarga del condensador. 

\[R \frac{d q}{d t}+\frac{q}{C}=0\]

Que tiene la siguiente solución:

\[q=q_{0} e^{-\frac{t}{R C}}\]

(Carga durante la descarga del condensador)

Si hacemos el mismo análisis de antes, con \(t=0\) y \(t \rightarrow \infty\), vemos que inicialmente la carga de él es \(q_{0}\) y que después de mucho tiempo la carga tiende a cero. 

Veamos de nuevo la corriente:

\[i=\frac{d q}{d t}\]

\[i=-\left(\frac{q_{0}}{R C}\right) e^{-\frac{t}{R C}}\]

(Corriente durante la descarga del condensador)

Si hacemos el mismo análisis de antes, con \(t=0\) y \(t \rightarrow \infty\), vemos que inicialmente la corriente vale \(\left(-q_{0} / R C\right)\) y que después de mucho tiempo la corriente tiende a cero. 

El signo negativo que aparece en la corriente inicial durante la descarga indica que ahora la corriente está fluyendo en sentido opuesto al anterior, durante la carga. 

Condensadores en Serie y en Paralelo 

Lo que intentamos aquí es hacer con los condensadores lo mismo que hacemos con las resistencias en un circuito y definir una expresión para la capacitancia equivalente para asociaciones de condensadores conectados en serie y en paralelo. 

No te voy a sobrecargar con mucha información, pero algo que te puede ayudar a recordar las fórmulas es saber que las fórmulas de condensadores son prácticamente la inversa de las que utilizamos para resistencias. 

Por tanto:

• Cuando \(n\) condensadores están conectados en serie, la capacitancia equivalente es dada por:

\[\frac{1}{C_{e q}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}+\ldots+\frac{1}{C_{n}}\]

• Cuando \(n\) condensadores están en paralelo, la capacitancia equivalente es dada por:

\[C_{e q}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\ldots+C_{n}\]