Cálculo de Resistencia con Integrales
Introducción
En el capítulo anterior, vimos que para un resistor prismático (es decir, un cubo, paralelepípedo, cilindro, etc) la resistencia \((R)\) está asociada a la resistividad \((\rho)\) a través de la siguiente expresión:
\(R=\rho \frac{L}{A}\)
Dicha expresión solo es válida si la resistividad es uniforme.
¿Y qué ocurre si la resistividad no es uniforme? ¿Y si el área de la sección transversal no es constante?
En tales casos, podemos calcular la resistencia total partiendo de la resistencia infinitesimal \(d R\), dada por:
\(d R=\frac{\rho d r}{A(r)}\)
La coordenada \(r\) siempre debe ser adoptada en la dirección que fluye la corriente.
Por ejemplo, si estuviéramos trabajando con un resistor cilíndrico donde la corriente fluye del radio interno \(a\), al radio externo \(b\), entonces \(r\) sería la coordenada radial del sistema.
Ahora, sí en el mismo resistor la corriente fluye entre las dos bases del cilindro, podemos usar la coordenada \(x\), en lugar de \(r\).
Ese es el espíritu de la cosa.
Este tipo de preguntas aparece, generalmente, con resistores cilíndricos o esféricos, y pueden resultar difíciles si no eres un buen estudiante (que no es el caso), así que vamos a darle un vistazo a algunas posibilidades.
Área Transversal Variable y Resistividad Uniforme
Si la resistividad es uniforme, no necesitamos preocuparnos de ella a la hora de integrar. De esta manera, la resistencia infinitesimal será dada por:
\(d R=\rho \frac{d r}{A(r)}\)
\(R=\rho \int \frac{d r}{A(r)}\)
Como ya te mencioné, este tipo de preguntas suele aparecer con resistencias cilíndricas y esféricas.
Por tanto, si el resistor es cilíndrico, el área \(A(r)\) será dada por:
\(A(r)=2 \pi r L\)
Donde \(L\) es la longitud del resistor.
En caso de que el resistor sea esférico, el área \(A(r)\) será:
\(A(r)=4 \pi r^{2}\)
La idea básicamente es esa.
Resistividad No-Uniforme
Si la resistividad no es uniforme, el problema tendrá que informale, necesariamente, de una función \(\rho(r)\) que represente la forma de como la resistividad varía de acuerdo con la coordenada radial \(r\) (en casos de resistores cilíndricos y esféricos).
De forma tal que, la resistencia será dada por:
\(d R=\frac{\rho(r) d r}{A(r)}\)
\(R=\int \frac{\rho(r) d r}{A(r)}\)
Con eso ya podemos quebrarnos la cabeza en los ejercicios.
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