Densidad de Corriente Variable

Densidad de Corriente No-Uniforme

Cuando la densidad de corriente es uniforme y tenemos una corriente pasando en un conductor con área de sección recta \(A\), la densidad de corriente viene dada por:

\(j=\frac{I}{A}\)

Piensa conmigo… ¿y si la corriente eléctrica no está uniformemente distribuida en la sección recta del conductor? ¿qué debemos hacer?

En ese caso, podemos calcular la densidad de corriente usando el mismo principio que usamos para la densidad de carga:

\(\vec{j}=\frac{d I}{d A} \hat{s}\)

Y si queremos calcular la corriente que pasa en un área determinada, si tenemos el unitario \(\widehat{n}\) normal en esta área en cada punto podemos computar la corriente total como:

\(d I=\vec{j} \bullet d \vec{A}\)

La corriente total viene dada por:

\(I=\iint_{A} \vec{J} \bullet \overrightarrow{d A}\)

Ya sé que estás pensando:“¿¡En serio apareció una doble integral?!”

Relájate…  en la práctica, tenemos una manera de hacerlo simple, presta atención.

Conductor de Sección Transversal Circular

Ahora debemos calcular la corriente que pasa a través de un conductor de sección transversal circular. Este es el tipo de problema que aparece la mayoría de las veces.

En estos casos, podemos reescribir el elemento de área \(d \vec{A}\) como:

\(d \vec{A}=d \theta r d r \widehat{n}\)

Integrando en \(\theta\)

\(d \vec{A}=2 \pi r d r \widehat{n}\)

Ahora la corriente total será dada por:

\(I=\int 2 \pi r \vec{j} \bullet \widehat{n} d r\)

En la mayoría de los casos, \(\vec{j}\) y \(\vec{n}\) apuntan en la misma dirección y sentido… por tanto, podemos decir que:

\(I=\int 2 \pi r j d r\)

De tal manera que dejamos de trabajar con una integral doble, para trabajar con una integral simple.

Vamos a suponer que \(j=K r^{2}\), donde \(K\) es una constante, y \(j\) es una corriente pasando por un conductor cilíndrico de radio \(R\). En ese caso la corriente total es dada por:

\(I=\int_{0}^{R} 2 \pi r j d r=\int_{0}^{R} 2 \pi r\left(K r^{2}\right) d r=2 \pi K \int_{0}^{R} r^{3} d r\)

\(I=2 \pi K\left(\frac{R^{4}}{4}\right)\)

\(I=\frac{\pi K R^{4}}{2}\)

¿Buenisimo? Entonces vamos a practicar para reforzar el contenido que acabamos de ver! ;)