Espacios Vectoriales

Introducción

 

Suponiendo que: un ejercicio define un conjunto de números, ¿cómo sabemos si dicho conjunto es un espacio vectorial?

 

Antes de ir al grano tenemos que ver algunos conceptos que aplicaremos más adelante.

 

Conjuntos y sus operaciones

 

Suponiendo dos cajas, donde cada una de ellas tiene un conjunto de vectores con sus respectivas características:

 

Caja roja:

 

 

Caja verde:

 

 

Entonces, tanto la caja verde como la caja roja tienen vectores \(R^{3}\) del tipo: \((x, y, 1)\), esto debido a la forma que van a definir.

 

Veamos qué más dicen:

 

Caja roja:

 

 

Caja verde: 

 

 

Espera, ¿qué está haciendo la caja verde? Porque no tiene nada que ver con sus vectores.

 

Déjame explicarte, cada caja elige como hacer sus respectivas operaciones. Por ejemplo, la caja roja las hizo tal cual como conocemos, sin embargo, la verde quiso ser diferente. 

 

Entonces, si tenemos \(2\) vectores cualesquiera en la caja verde: \(\vec{g}=(4,2,1)\) y \(\overrightarrow{g^{\prime}}=(6,5,1)\), la suma entre ellos dentro de la caja verde será:

 

\[\vec{g}+\vec{g}^{\prime}=\left(g_{x}+g_{x}^{\prime}, g_{y}+g_{y}^{\prime}, g_{z}\right)\]

 

\[\vec{g}+\vec{g}^{\prime}=(4+6,2+5,1)\]

 

\[\vec{g}+\vec{g}^{\prime}=(10,7,1)\]

 

Mientras que la suma de los mismos vectores, \(\vec{r}=(4,2,1)\) y \(\vec{r}^{\prime}=(6,5,1)\) dentro de la caja roja, será:

 

\[\vec{r}+\vec{r}^{\prime}=\left(r_{x}+r^{\prime}{ }_{x}, r_{y}+r^{\prime}{ }_{y}, r+r^{\prime}{z}\right)\]

 

\[\vec{r}+\vec{r}^{\prime}=(4+6,2+5,1+1)\]

 

\[\vec{r}+\vec{r}^{\prime}=(10,7,2)\]

 

La multiplicación por un escalar también es distinta. 

 

Como puedes ver, cada conjunto tiene operaciones definidas distintas.

 

Espacio vectorial

 

¿Qué es un espacio vectorial?

 

El espacio vectorial es una estructura algebraica, como las cajas, que cumple una serie de requisitos. Es decir: todo espacio vectorial es una caja, pero no toda caja es un espacio vectorial. 

 

¿Qué necesita una caja para ser considerada un espacio vectorial?

 

Lo primero: el resultado de cualquier operación hagamos (suma, resta o multiplicación por un escalar) debe ser un vector que también pertenezca a la caja, es decir, un vector que cumpla todas las características que pide el conjunto y consecuentemente pertenezca a él. 

 

Formalmente, podemos decir que un espacio vectorial es:

 

 

Notación: un espacio vectorial es denotado por la letra \(V\), junto con sus operaciones, como:

 

\[(V,+, \bullet)\]

 

Además, para que sea un espacio vectorial, el conjunto debe cumplir \(8\) axiomas: los primeros \(4\) implican suma/resta y los otros \(4\) implican multiplicación por escalar. Veamos cada uno de ellos:

 

     \(1.\) La suma es conmutativa: \(v+u=u+v\)

 

¿Recuerdas ese dicho que dice “el orden de los factores no altera el resultado”? Lo mismo ocurre aquí. No existe diferencia si sumamos \(v+u\) o \(u+v\).

 

     \(2.\) La suma es asociativa: \((v+u)+w=v+(u+w)\)

 

Este axioma dice que podemos agrupar los vectores de la manera que queramos con el propósito de facilitar el cálculo, descubrir propiedades, etc… 

 

     \(3.\) Elemento neutro de la suma: \(\exists 0 \in V \mid \forall v \in V, v+0=v\)

 

En otras palabras, existe un vector denotado por \(0\), cuyo resultado de la suma con cualquier otro vector \(v\) del espacio es el vector \((0+v=v)\). 

 

Este es comúnmente denominado como \(0\), pero es de extrema importancia que sepas que no necesita ser el vector \((0,0,0)\) si estamos en \(R^{3}\), por ejemplo. Simplemente no debe influenciar la suma.

 

     \(4.\) Opuesto: \(\forall v \in V, \exists w \in V \mid v+w=0\)

 

En español, para todo \(v\) en \(V\) existe un vector \(w\) en \(V\), tal que \(v+w=0\). En el universo de las operaciones que conocemos, el opuesto de \(1\) es \(-1\), por ejemplo.

 

     \(5.\) Asociativo: \((\alpha \beta) v=\alpha(\beta v)\)

 

Nuevamente “el orden de los factores no altera el resultado” solo que esta vez con multiplicación de escalares. No importa si primero multiplicamos el vector por el escalar \(\beta\) para luego multiplicarlo por \(\alpha\) o los escalares primero para luego multiplicar el resultado por el vector, el resultado será el mismo. 

 

     \(6.\) Elemento neutro de la multiplicación: \(1 \bullet v=v\)

 

Se refiere a que un vector multiplicado por el escalar \(1\) tendrá como resultado el mismo vector.

 

     \(7.\) \(\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v\)

 

Este axioma habla de la distributividad. Primero podemos multiplicar cada vector por el escalar. 

 

     \(8.\) \((\alpha+\beta) v=\alpha v+\beta v\)

 

Esta también es una distributiva, pero con escalares en lugar de vectores. 

 

Precisamente por eso es que cada conjunto define sus operaciones, no todas las cajas cumplirán estos 8 axiomas para ser consideradas espacios vectoriales. Simplemente debemos comprobar todo esos axiomas para asegurarnos que se trata de un espacio vectorial.

 

Comprobando si un conjunto es un Espacio Vectorial

 

¿El conjunto \(R\) de la caja roja es un espacio vectorial?

 

Notación: \((R,+, \bullet)\)

 

Ya sabemos que los elementos del conjunto \(R\) son de tipo \(\left(r_{x}, r_{y}, 1\right)\).

 

De esa forma, si \(R\) es un espacio vectorial, tenemos que este tipo de vector, con las operaciones definidas, tiene que satisfacer todos los axiomas que hemos visto. Primero: vamos a comprobar que las operaciones resulten en un vector en el mismo conjunto, que es el requisito básico.

 

Probando la suma con vectores genéricos:

 

\[\left(r_{x}, r_{y}, 1\right)+\left(r^{\prime}{ }_{x}, r^{\prime}{ }_{y}, 1\right)=\left(r_{x}+r^{\prime}{ }_{x}, r_{y}+r^{\prime}{ }_{y}, 2\right)\]

 

Como puedes ver, la suma resultó en un vector con coordenada \(r_{z}=2\). Entonces, sabemos que este no pertenece a \(R\), porque \(R\) solo tiene vectores con \(r_{z}=1\). 

 

Por tanto, no es un espacio vectorial con las operaciones definidas anteriormente. Esto quiere decir que solo se trata de un conjunto.

 

Una observación interesante es que usamos las operaciones usuales. Eso significa que no van a servir para cualquier conjunto, ¿entiendes?

 

 

Ahora probemos con el conjunto \(G\), el de la caja verde. 

 

Notación: \((G, \mp, \div)\)

 

Obs: cambiamos los símbolos de suma y multiplicación en la notación, indicando que sus definiciones de operaciones fueron alteradas.

 

Con las operaciones de la caja verde, tenemos:

 

\[\left(g_{x}, g_{y}, 1\right)+\left(g_{x}^{\prime}, g_{y}^{\prime}, 1\right)=\left(g_{x}+g_{x}^{\prime}, g_{y}+g_{y}^{\prime}, 1\right)\]

 

\[\alpha \div\left(g_{x}, g_{y}, 1\right)=\left(\alpha g_{x}, \alpha g_{y}, 1\right)\]

 

Si probamos todos los axiomas veremos que satisface las condiciones. 

 

Esto quiere decir que la caja verde es un espacio vectorial.

 

Algo que podemos notar es: ¿quién es el elemento neutro de la multiplicación?

 

En este caso continúa siendo el número real \(\alpha=1\), porque siendo \(g=\left(g_{x}, g_{y}, 1\right)\), tenemos \(1 \times g=g\)

 

¿Y el elemento neutro de la suma?

 

En este caso no es \((0,0,0)\). En este caso tenemos \((0,0,1)\) (que pertenece a \(G\)) como elemento neutro de la suma, ya que \(\left(g_{x}, g_{y}, 1\right) \mp(0,0,1)=\left(g_{x}, g_{y}, 1\right)\). 

 

¿Y el opuesto?

 

Sería el vector \(\left(-g_{x},-g_{y}, 1\right)\), de modo que \((x, y, 1) \mp\left(-g_{x},-g_{y}, 1\right)=(0,0,1)\), porque ahora este es el elemento neutro de la suma. 

 

Cabe resaltar que las operaciones no deben ser estrictamente iguales a las que vimos. Podemos hacer lo que queramos mientras obedezca a esas reglas. 

 

¡Eso es todo amigos, no olviden practicar en las sección de ejercicios!

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