Subespacios Vectoriales

Introducción

 

Para saber si un conjunto es un espacio vectorial \(V\), junto con sus operaciones \((V,+, \bullet)\) tenemos que probarlo para cada uno de los axiomas:

 

     \(1.\) La suma es conmutativa: \(v+u=u+v\)

 

     \(2.\) La suma es asociativa: \((v+u)+w=v+(u+w)\)

 

     \(3.\) Elemento neutro de la suma: \(\exists 0 \in V \mid \forall v \in V, v+0=v\)

 

     \(4.\) Opuesto: \(\forall v \in V, \exists w \in V \mid v+w=0\)

 

     \(5.\) Asociativo: \((\alpha \beta) v=\alpha(\beta v)\)

 

     \(6.\) Elemento neutro de la multiplicación: \(1 \bullet v=v\)

 

     \(7.\) \(\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v\)

 

     \(8.\) \((\alpha+\beta) v=\alpha v+\beta v\)

 

Eso es mucho trabajo, ¿verdad? ¿Acaso existe otra manera de probar que un conjunto es un espacio vectorial? 

 

Subespacio vectorial

 

Dado el siguiente conjunto:

 

\[V=\left\{(a, b, c) \in R^{3} \mid a, b \in R, c=a+b+2\right\}\]

 

¿Cómo probamos que es un subespacio vectorial?

 

Imagina que el espacio vectorial es una caja gigante. De esta forma, podríamos pensar que los subespacios son “cajitas” que están dentro. 

 

 

El subespacio también es un espacio vectorial. Se comporta de la misma forma que el espacio vectorial y tiene las mismas operaciones del espacio que lo contiene, la única diferencia es que está contenido en un espacio vectorial mayor.

 

Para que quede claro, hagamos una comparación: cuando estudiamos la teoría de los conjuntos, sabemos que existe el conjunto de los número naturales y el conjunto de los números reales. Ambos son conjuntos numéricos, pero uno es el conjunto de los números naturales y otro un subconjunto de los números reales. Lo mismo ocurre con los espacios y subespacios vectoriales.

 

Formalmente:

 

 

Teniendo en cuenta que \(V\) es un espacio vectorial con operaciones propias y \(W\) está contenido en \(V\). Podemos usar ese hecho para probar que \(W\) también es un espacio vectorial de forma mucho más simple, como un subespacio vectorial. Básicamente estamos aprovechando el hecho de que \(V\) es un espacio vectorial para probar que \(W\) también lo es.

 

Para que un conjunto sea un subespacio vectorial, este debe cumplir mucho menos requisitos que el espacio vectorial. Los requisitos son:

 

 

Eso quiere decir que:

 

     \(\bullet\) \(0\) es el elemento neutro de la suma en los espacios vectoriales. Este debe estar dentro de la “cajita” para que sea un subespacio vectorial, por ejemplo, suponiendo que la pelotita roja es el elemento neutro, vemos que solo está dentro del conjunto verde, esto quiere decir que el conjunto azul no puede ser un subespacio vectorial.

 

 

     \(\bullet\) La segunda condición para que el conjunto verde sea un subespacio vectorial es que la suma de dos sus vectores también debe estar dentro de él, no puede estar en ningún otro lugar del espacio.

 

     \(\bullet\) Y finalmente, la multiplicación de uno de sus vectores por un número cualquiera también debe estar allí dentro, de esa forma puede ser considerado un subespacio vectorial. 

 

En la práctica tenemos que probar esas tres condiciones en el subconjunto (de la misma manera que lo hacíamos con los otros axiomas). Entonces, como podemos ver, el proceso es el mismo, pero más rápido. 

 

También cabe recordar que \(0 \in W\) se refiere al elemento neutro de la suma, que no necesariamente debe ser \(0\). 

 

Entonces, probemos esas \(3\) condiciones en el siguiente ejemplo:

 

\[V=\left\{(a, b, c) \in R^{3} \mid a, b \in R, c=a+b+2\right\}\]

 

Como no nos fueron dadas las operaciones dentro del conjunto, utilizaremos las de siempre.

 

     \(1.\) Vamos a probar el primer axioma. El elemento nulo en \(R^{3}\) con las operaciones usuales es \((0,0,0)\), y para que \(V\) sea un subconjunto vectorial, dicho elemento debe estar dentro. Entonces, tenemos que sustituir \(a\), \(b\) y \(c\) por \(0\) en la condición de \(c\) dada por el conjunto:

 

\[0=0+0+2\]

 

\[0=2\]

 

El resultado no es correcto, esto quiere decir que el elemento nulo no pertenece a \(V\) y por tanto, \(V\) no es un subespacio vectorial.

 

Nota: todo espacio vectorial \(V\) tiene por lo menos dos subespacios vectoriales: el suyo mismo, y el subespacio trivial \(\{0\}\).

 

Veamos otro ejemplo.

 

Sea \(V\) un conjunto tal que:

 

\[V=\left\{(a, b) \in R^{2} \mid a, b \in R, a=b\right\}\]

 

¿\(V\) es un subespacio vectorial de \(R^{2}\)?

 

     \(1.\) Vamos a probar si el elemento neutro de \(R^{2}\) pertenece a \(V\). El elemento nulo de \(R^{2}\) es \((0,0)\).

 

Como \(a=b=0\), el vector \((0,0)\) pertenece al conjunto \(V\).

 

     \(2.\) Veamos si \(V\) es cerrado por la suma. Suponiendo dos vectores que pertenecen a \(V\): \((a, b)\) y \(\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\).

 

\[(a, b)+\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=\left(a+a^{\prime}, b+b^{\prime}\right)\]

 

Como \(a, a^{\prime}, b, b^{\prime}\) son números reales, entonces la suma \(a+a^{\prime}\) y \(b+b^{\prime}\) también será un número real. Es decir, \(\left(a+a^{\prime}, b+b^{\prime}\right) \in V\), entonces \(V\) es cerrado para la suma. 

 

     \(3.\) Por último tenemos que verificar la multiplicación por escalar. Sea \((a,b)\) un vector de \(V\) y \(\lambda\) un número real cualquiera:

 

\[\lambda(a, b)=(\lambda a, \lambda b)\]

 

Como \(a, b\) y \(\lambda\) son números reales, entonces: \(\lambda a\) y \(\lambda b\) también son números reales, es decir, \((\lambda a, \lambda b) \epsilon V\), entonces \(V\) es cerrado para la multiplicación.

 

Probamos que \(V=\left\{(a, b) \in R^{2} \mid a, b \in R, a=b\right\}\) satisface todas las condiciones, entonces \(V\) es un subespacio vectorial de \(R^{2}\).

 

Subespacios Afines

 

Un subespacio afín \(H\) es la translación de un subespacio vectorial \(W \subset V\). Es decir, tenemos que:

 

\[H=v_{0}+W=\{w \in W\}\]

 

Donde \(v_{0} \in V\).

 

En este caso decimos que \(H\) es un subespacio afín asociado al subespacio \(W\).

 

Al trasladar un subespacio ocurren dos cosas: la primera es que el subespacio afín nunca será un subespacio, porque al desplazarse deja de tener origen. La segunda es que el subespacio afín será paralelo al subespacio al que está asociado. 

 

Prueba de que un subconjunto es un subespacio vectorial

 

Ejemplo 1 - Recta

 

¿La recta \(x+2 y=0\) es un subespacio de \(R^{2}\)?

 

Espera…¿Para ser un subespacio, no tiene que ser un conjunto? ¿Que hace una recta ahí?

 

Una recta es un conjunto de vectores que comparten la misma dirección. Entonces lo que tenemos que hacer es escribir la recta como si fuera un conjunto.

 

La recta \(x+2 y=0\) puede ser escrita como \(x=-2 y\), que no es más que el conjunto de vectores \((-2 y, y)\), que de hecho es un subconjunto de \(R^{2}\).

 

Entonces, sabemos que el conjunto formado por los vectores de la recta es el siguiente:

 

 \[r=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid y(-2,1), \forall y \in R\right\}\]

 

Entonces, veamos si satisface las tres condiciones:

 

El conjunto contiene el elemento nulo de \(R^{2}\), \((0,0)\). Si \(y=0\), entonces \(0(-2,1)=(0,0)\).

 

Si sumamos dos vectores genéricos distintos de esa recta:

 

\[v_{1}+v_{2}=y_{1}(-2,1)+y_{2}(-2,1)=k(-2,1)\]

 

Donde \(k=y_{1}+y_{2}\). Por tanto, sumando dos vectores cualquiera de ese conjunto, tenemos como resultado un vector del mismo conjunto, solo que multiplicado por un escalar distinto. Entonces está cerrado para la suma.

 

Multiplicando un escalar \(\lambda \in R\) a un vector genérico \(y(-2,1)\), tenemos:

 

\[\lambda v=\lambda y(-2,1)=t(-2,1)\]

 

Donde \(t=\lambda y\). Nuevamente, el resultado es un vector que también pertenece al conjunto. Cerrado para la multiplicación.

 

Como todas las condiciones fueron satisfechas, tenemos que la recta \(x+2 y=0\) es un subespacio vectorial de \(R^{2}\). 

 

Ejemplo 2 - Recta

 

¿Y en cuanto a la recta \(s=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid y=x+1\right\}\)?

 

Ten en cuenta que esta es equivalente al conjunto de vectores \((x, x+1)=(0,1)+x(1,1)\). ¡Entonces tenemos un problema!

 

No hay ningún valor de \(x\) que resulte en el vector \((0,0)\), que es el elemento neutro de la suma en \(R^{2}\). Haciendo \(x=0\), tenemos el vector \((0,1)\). Si hacemos \(x=-1\), tenemos el vector \((-1,0)\). 

 

Como \((0,0)\) \(\notin s\), esta recta no es un subespacio vectorial de \(R^{2}\), porque no obedece a la primera condición del teorema. 

 

Cabe resaltar que, por la ecuación de la recta, esta se trata de una recta desplazada, es decir, que no pasa por el origen. A partir de eso podemos concluir que toda recta que pase por el origen es un subespacio vectorial de \(R^{2}\). Análogamente, toda recta o plano que pase por el orígen es un subespacio vectorial de \(R^{3}\), y así sucesivamente. 

 

Lo contrario también es válido, si alguna recta, o plano, o lo que sea, no paso por el origen, no puede ser un subespacio vectorial de \(R^{n}\). De lo anterior, podemos obtener el siguiente teorema: 

 

 

La recta \(r\) puede ser escrita como \(\operatorname{span}\{(-2,1)\}\), mientras que la recta \(s\) no puede ser representada solamente por un \(span\).

 

Ejemplo 3 - Matriz

 

¿El conjunto \(S=\left\{A \in M_{2 \times 2} \mid a_{11}^{2}+a_{22}^{2}=0\right\}\) es un subespacio vectorial del conjunto de matrices \(2 \times 2\)?

 

De acuerdo con la condición anterior. Todas las matrices \(S\) deben tener \(a_{11}^{2}+a_{22}^{2}=0\). Por otro lado, tenemos que ambos \(a_{11}^{2}\) y \(a_{22}^{2}\) son positivos. Entonces, para que la condición sea satisfecha, tenemos:

 

\[a_{11}=a_{22}=0\]

 

Siendo así, podemos escribir las matrices de dicho conjunto como:

 

\[A=\left[\begin{array}{ll}0 & b \\ c & 0\end{array}\right]\]

 

Aplicando el teorema:

 

     \(\bullet\) Podemos ver que el elemento nulo (en este caso, la matriz nula \(2 \times 2\)) está dentro. Solo tenemos que tomar \(b=c=0\).

 

     \(\bullet\) ¿\(A_{1}, A_{2} \in M_{2 \times 2} \Rightarrow A_{1}+A_{2} \in M_{2 \times 2}\)?

 

Si, porque sí 

 

\[A_{1}=\left[\begin{array}{ll}0 & b_{1} \\ c_{1} & 0\end{array}\right] \quad  y \quad A_{2}=\left[\begin{array}{cc}0 & b_{2} \\ c_{2} & 0\end{array}\right]\]

 

Tenemos que

 

\[A_{1}+A_{2}=\left[\begin{array}{cc}0 & b_{1}+b_{2} \\ c_{1}+c_{2} & 0\end{array}\right]\]

 

Los elementos de su diagonal siguen siendo cero. Por tanto, es cerrado para la suma.

 

     \(\bullet\) ¿\(\lambda \in R, A \in M_{2 \times 2} \Rightarrow \lambda A \in M_{2 \times 2}\)?

 

Si, también es cierto, porque si multiplicamos una matriz por un número real, sus elementos también lo serán, sin alterar la diagonal principal, que seguirá siendo cero:

 

\[\lambda \bullet A=\lambda \bullet\left[\begin{array}{ll}0 & b \\ c & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & \lambda b \\ \lambda c & 0\end{array}\right]\]

 

Entonces, es cerrado para la multiplicación por un escalar.

 

Finalmente, concluimos que \(S\) es un subespacio de \(M_{2 x 2}\).

 

Consejo

 

Amig@s, antes de poner en práctica lo que han aprendido, te daré un gran consejo. Viene del hecho de que todo conjunto que puede ser representado por un espacio generado es un subconjunto. El hecho es que la imagen y el núcleo de una matriz SIEMPRE serán subespacios vectoriales, porque estos siempre pueden ser representados como un espacio generado. 

 

¡Y eso es todo amigos, vayamos a la sección de ejercicios para practicar!