Unión, Suma e Intersección de Subespacios Vectoriales

Unión de Subespacios Vectoriales

Si hacemos la unión de dos subespacios, ¿aún tendremos un subespacio?

Bien, primero tenemos que recordar cuál es la definición de unión de conjuntos. Es decir:

\[A \cup B=\{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}\]

En español eso quiere decir que: El conjunto \(A\) está unido al \(B\) y compuesto por los elementos que pertenecen a \(A\) o \(B\). Entonces, para que un elemento pertenezca a la unión de dos conjuntos solo debe pertenecer a uno de ellos, ¿verdad? ¡Exactamente!

Entonces, volvamos a la pregunta, ¿esa unión es un subespacio?

Si tenemos un vector \(w \in W\)  y otro \(h \in H\), con subespacios vectoriales \(H\) y \(W\).

Como \(w \in W\) entonces \(w \in(W \cup H)\), de la misma manera, ya que \(h \in H\) entonces \(h \in(W \cup H)\). Si \((W \cup H)\) es un subespacio vectorial, entonces este debe ser cerrado para la suma, ¿recuerdas? Entonces, \((w+h) \in(W \cup H)\). 

Si \(H \not \subset W\) y \(W \not \subset H\), entonces \((w+h)\) no pertenece a (W \cup H). ¿No entiendes?

Imagina que el subespacio \(H\) es un plano y \(W\) una recta que atraviesa dicho plano. Por tanto, \(H \not \subset W\) y \(W \not \subset H:\)

Agreguemos los vectores \(w \in W\) y \(h \in H\)

Queremos analizar la suma de esos vectores, pues para que \((W \cup H)\) sea un espacio vectorial, entonces \(w+h\) tiene que pertenecer a \((W \cup H)\)

Y, como podemos ver, bajo estas condiciones, \(H \cup W\) no es un subespacio vectorial, porque no está cerrado a la suma. El vector \(w+h\) claramente no pertenece ni a \(W\) ni a \(H\).

Pero por ejemplo, si la recta \(W\) estuviera contenida en el plano \(H\), tendríamos \((W \subset H)\). Por tanto, \(W \cup H\) sería un subespacio.

Intenta imaginar la recta \(W\) contenida completamente en el plano. De esa forma todos los vectores de la recta estarían en el plano. Al sumar un vector de \(H\) (del plano) con un vector de \(W\) (que forma parte del plano) obtendríamos un vector que también estaría en el plano. 

Como puedes notar, depende de la ocasión. No podemos generalizar si \(H \cup W\) es un subespacio vectorial. Este será un subespacio si \(H \subset W\) o \(W \subset H\).

Suma de Subespacios Vectoriales

¿Y la suma de subespacios? ¿Generará un subespacio vectorial? ¿Si, o no podemos afirmar nada? Bien, primero tenemos que entender qué es la suma de subespacios. 

Lo primero que tiene que saber es que no tiene nada que ver con la unión.

Cuando sumamos dos conjuntos \(W\) y \(H\), sumamos todos los elementos de \(W\), con todos los elementos de \(H\). Es decir:

\[W+H=\left\{y \mid y=x_{1}+x_{2}, x_{1} \in H, x_{2} \in W\right\}\]

Nuevamente, traduciendolo, significa que el conjunto formado por la suma de \(W\) y \(H\) está formado por los elementos, tales que \(y=x_{1}+x_{2}\) siendo que \(x_{1}\) pertenece a \(H\) y \(x_{2}\) pertenece a \(W\). Entonces los elementos de \(W+H\), no son los elementos de \(H\) o \(W\), sino la combinación lineal de todos los elementos de esos subespacios. 

Entonces, podemos escribir la suma de los dos conjuntos como el conjunto generado por la unión de los generadores de ambos conjuntos. 

¡¿Qué?!

Déjame explicarte. Por ejemplo, si \(H=\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle\) y \(W=\left\langle v_{3}\right\rangle\), entonces \(H+W=\left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle\).

En el caso del gráfico, \(W\) es una recta del \(R^{3}\), y \(H\) es un plano de \(R^{3}\). Entonces, \(W+H=R^{3}\). Presta atención:

Nota: vale la pena recordar que en este caso \(W+H=R^{3}\) porque \(W \not \subset H\) y \(H \not \subset W\). Si, por ejemplo, la recta \(W\) estuviera contenida en el plano \(H\), tendríamos que \(W+H=H\).

Ten claro que \(h+w\) está contenido en \(H+W\). Y esto no es coincidencia, es algo que ocurrirá siempre. Si \(H\) y \(W\) son subespacios de \(V\), entonces \(H+W\) también será un subespacio vectorial de \(V\).

Base de la Suma de Subespacios

Acabemos de ver que la suma de dos subespacios siempre será un subespacio. Entonces, sería interesante si supiéramos hallar la base de esa suma. Y en realidad es sencillo. Recordando lo que hablamos:

“Si \(H=\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle\) y \(W=\left\langle v_{3}\right\rangle\), entonces \(H+W=\left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle\).”

Si \(\left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle\) es un generador de \(H+W\), entonces para hallar una base basta con eliminar los elementos \(LD\) del medio. 

Intersección del Subespacio Vectorial

Lo primero que tenemos que saber es cómo escribir la intersección \(A \cap B\) de dos conjuntos:

Este nuevo conjunto está formado por todos los elementos del espacio donde está contenido que satisfacen las dos condiciones al mismo tiempo.

¿Recuerdas que en la unión de conjuntos era necesario satisfacer al menos a uno de ellos? Entonces, en la intersección tiene que satisfacer a ambos. Super intuitivo, ¿verdad? Se vería así:

\[A \cap B=\{x \mid x \in A \space\text{ y }\space x \in B\}\]

Traducido al español: el conjunto \(A\) intersección con \(B\) está formado por los elementos \(x\) tales que \(x\) pertenece a \(A\) y también pertenecen a \(B\). 

Ahora que sabemos hallar la intersección, surge la pregunta clásica: ¿la intersección de dos subespacios también es un subespacio vectorial?

Veamos los siguientes conjuntos:

\[H=\left\{(x, y, z, w) \in R^{4} \mid t(1,2,0,0)+s(2,1,0,1), t, s \in R\right\}\]

\[W=\left\{(x, y, z, w) \in R^{4} \mid x+y+z+w=0\right\}\]

¿Será que la intersección de los dos subespacios de \(R^{4}\) también es subespacio de \(R^{4}\)?

Vamos paso a paso:

Paso 1: para poder definir el subconjunto generado por la intersección de los espacios necesitamos sus condiciones. La de \(W\) es fácil:

\[x+y+z+w=0\]

¿Y las de \(H\)? Tal como está, es complicado de ver, ¿verdad? Bueno, pasemos a la forma cartesiana entonces:

\[t(1,2,0,0)+s(2,1,0,1)=(t+2 s, 2 t+s, 0, s)\]

Por tanto, tenemos el sistema:

\[\left\{\begin{array}{cc}x=t+2 s & (1) \\ y=2 t+s & (2) \\ z=0 & (3) \\ w=s & (4)\end{array}\right.\]

De \((1)\) tenemos:

\[t=x-2 s(5)\]

Sustituyendo \((4)\) y \((5)\) en \((2)\):

\[y=2 x-4 w+w\]

Ahora tenemos las condiciones de ambos conjuntos:

\[H:\left\{\begin{array}{c}y=2 x-3 w \\ z=0\end{array}\right.\]

\[W: x + y+z+w=0\]

Paso 2: veamos cuál es el conjunto de vectores que satisface ambas condiciones al mismo tiempo. Para eso, tenemos que armar un sistema con las \(3\) ecuaciones que tenemos:

\[\left\{\begin{array}{c}y=2 x-3 w \\ z=0 \\ x+y+z+w=0\end{array}\right.\]

Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la última, obtenemos:

\[x+(2 x-3 w)+0+w=0\]

\[3 x-2 w=0\]

\[x=\frac{2 w}{3}\]

Paso 3: así, podemos concluir que:

\[x=\frac{2 w}{3}\]

\[y=2\left(\frac{2 w}{3}\right)-3 w \therefore y=-\frac{5 w}{3}\]

\[z=0\]

\[w=w\]

Entonces los vectores que pertenecen a \(H \cap W\) son:

\[\left(\frac{2 w}{3},-\frac{5 w}{3}, 0, w\right)=w\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}, 0,1\right)\]

Por tanto, \(H \cap W=\operatorname{span}\left\{\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}, 0,1\right)\right\}\).

Y así, logramos escribir la intersección como un \(span\). Ese conjunto es un subespacio vectorial (recuerda el teorema). 

Espera, tomamos dos conjuntos que eran subespacios vectoriales y su intersección también dio un subespacio. ¿Siempre sucede eso? De hecho, sí, y eso nos lleva a otro teorema: