Suma de la Dimensión de Subespacios

Suma Directa

¿Recuerdas el ejemplo de la suma de una recta con un plano en \(\mathbb{R}^{3}\)? Este:

Ten en cuenta que la intersección de la recta \(W\) con el plano \(H\) solo ocurre en el origen. Cuando esto sucede tenemos una nomenclatura especial:

Notación: \(H \oplus W\)

En el ejemplo anterior, \(\mathbb{R}^{3}=H \oplus W\). ¡Pero cuidado! La definición dice “cuando la suma es DIRECTA”. Si por ejemplo quisiéramos definir que un espacio \(E\), en el caso de \(\mathbb{R}^{3}\), es suma directa de dos subespacios \(H\), \(W\) escribiríamos:

Entonces, podemos decir que la suma \(H+W\) es directa, y que \(\mathbb{R}^{3}\) es la suma directa de \(H\) y \(W\).

Dimensión de Subespacios

Aún refiriéndonos al ejemplo anterior, vimos que la dimensión de \(H+W\) era la dimensión de \(H\) más la dimensión de \(W\) que en este caso daba \(3\). Por tanto, la suma de ellos generaba \(\mathbb{R}^{3}\). ¿Y si tomáramos dos planos en \(\mathbb{R}^{3}\)?

\[\Pi_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z-y=0\right\}\]

\[\Pi_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z-x=0\right\}\]

Podemos ver que los generadores de \(\Pi_{1}\) son:

\[(x, y, y)=x(1,0,0)+y(0,1,1)\]

Y que los de \(\Pi_{2}\) son:

\[(x, y, x)=x(1,0,1)+y(0,1,0)\]

Si tomamos la suma \(\Pi_{1}+\Pi_{2}\) tenemos que sus generadores son:

\[{span}\{(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,1,0)\}\]

Mirando descuidadamente podemos decir que la dimensión de la suma de dichos planos es \(4\). Pero como somos inteligentes sabemos que no es así. Faltó verificar si todos los generadores son \(LI\).

De hecho no lo son, porque es imposible tener \(4\) vectores \(LI\) en \(\mathbb{R}^{3}\).  Entonces, solo queda verificar cuál es \(CL\) del otro. Al verificar, vemos que la dimensión del conjunto es \(3\). 

¡Pero hacerlo siempre es complicado! Es cierto, por eso veremos un método más práctico para calcular la dimensión de la suma de subespacios. 

A diferencia del primer ejemplo, esta vez los conjuntos en cuestión poseen una recta como intersección (entonces, la suma de ellos no es directa porque \(\Pi_{1} \cap \Pi_{2} \neq\{0\}\)).

Vamos a verificar su intersección:

\[\left\{\begin{array}{l}z-y=0 \Rightarrow z=y \\ z-x=0 \Rightarrow z=x\end{array}\right.\]

De allí obtenemos:

\[x=y=z\]

Entonces, la intersección de ambos está formada por el vector:

\[(x, x, x)=x(1,1,1)\]

Por tanto, podemos ver que la intersección es una recta, generada por el vector anterior, y, por tanto, su dimensión es \(1\). Eso era de esperarse, porque la intersección de dos planos en \(\mathbb{R}^{3}\) (no coincidentes) siempre es una recta. 

Sabemos que la dimensión de cada uno de los planos es \(2\) y que la intersección de ellos generan una recta de dimensión \(1\). Entonces,

\[2+2-1=3\]

que es exactamente la dimensión de la suma de los planos. Si fueran \(2\) planos iguales, la intersección sería si mismo y tendría dimensión \(2\):

\[2+2-2=2\]

Y de hecho la suma de dos planos iguales tiene que ser el mismo plano, entonces debe tener dimensión \(2\).

Volviendo al ejemplo anterior, vimos que la dimensión de la suma era exactamente la suma de las dimensiones de la recta y del plano. Como la intersección era en el origen, su dimensión es nula. 

Despejando, tenemos:

\[1+2-0=3\]

¿Notaste el patrón? No es una coincidencia. Podemos hallar la dimensión de la suma fácilmente, sumando las dimensiones de cada uno de los conjuntos y disminuyendo la dimensión de su intersección. 

Y así llegamos al siguiente teorema: