Transformación Lineal

Introducción

Una transformación es una función, como las que hemos estudiado anteriormente. En álgebra lineal, es más común denotar a las funciones como transformaciones:

Además, podemos decir que “algo” es una función si tiene estos \(3\) items:

\((1)\) Un conjunto \(A\) llamado dominio.

\((2)\) Un conjunto \(B\) llamado codominio.

\((3)\) Una regla (fórmula) de asociación

Siendo \(f\) una función genérica, podemos denotarla como: 

\[f: A \rightarrow B\]

\[x \longmapsto f(x)\]

Ej: podemos escribir la función \(f(x)=x^{2}\) como 

\[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\]

\[x \longmapsto x^{2}\]

Podemos ver que el dominio de esta función es el conjunto de los números reales (\(\mathbb{R}\)), al igual que su codominio (\(\mathbb{R}\)).

Podemos pensar en la transformación lineal como una calculadora. Esta recibe un número, hace algunos cálculos, y “arroja” un resultado.

En álgebra lineal, las funciones (transformaciones) no solo aceptan al conjunto de los números reales como dominio o codominio, sino que admiten cualquier espacio vectorial (por ejemplo, un grupo de vectores, matrices o polinomios).

Es decir, podemos tener una transformación lineal \(T\) como esta:

\[T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\]

\[(x, y) \longmapsto(x, 2 y, x+y)\]

O sea, esa transformación (en este caso, una función vectorial) toma los vectores de \(\mathbb{R}^{2}\), hace algo con ellos, y los “arroja” en \(\mathbb{R}^{3}\).

En álgebra lineal, usaremos estas transformaciones; sin embargo, vamos a centrarnos en algo en particular, solamente vamos a estudiar las transformaciones lineales.

Matemáticamente, decimos que algo es lineal si satisface las siguientes propiedades:

\((1)\) \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)

\((2)\) \(T(\lambda u)=\lambda T(u), \forall \lambda \in R\)

Notación: a partir de ahora vamos a referirnos al término “transformación lineal” como \(TL\).

Nota: cuando el dominio y el codominio de una \(TL\) son iguales, decimos que es un Operador Lineal. 

Probando que una transformación es lineal

¿Cómo podemos probar que una transformación es lineal?

Tranquilo, no es complicado. No te desesperes antes de esperar.

Por ejemplo, vamos a tomar la transformación anterior:

\[T(x, y)=(x, 2 y, x+y)\]

Paso 1: \((I) T\left(x_{1}, y_{1}\right)+T\left(x_{2}, y_{2}\right)=T\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)(I I)\)

Desarrollando el lado \((I)\):

\[T\left(x_{1}, y_{1}\right)+T\left(x_{2}, y_{2}\right)\]

\[\left(x_{1}, 2 y_{1}, x_{1}+y_{1}\right)+\left(x_{2}, 2 y_{2}, x_{2}+y_{2}\right)\]

\[\left(x_{1}+x_{2}, 2 y_{1}+2 y_{2}, x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}\right)\]

Desarrollando el lado \((II)\):

\[T\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)\]

\[\left(x_{1}+x_{2}, 2\left(y_{1}+y_{2}\right),\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(y_{1}+y_{2}\right)\right)\]

\[\left(x_{1}+x_{2}, 2 y_{1}+2 y_{2}, x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}\right)\]

Y así, podemos ver que \((I)=(I I)\).

Paso 2: \((I I I) T(\lambda x, \lambda y)=\lambda T(x, y)(I V)\)

Desarrollando el lado \((I I I)\):

\[T(\lambda x, \lambda y)\]

\[(\lambda x, \lambda 2 y, \lambda(x+y))\]

Desarrollando el lado \((I V)\):

\[\lambda T(x, y)\]

\[\lambda(x, 2 y, x+y)\]

\[(\lambda x, \lambda 2 y, \lambda(x+y))\]

Entonces, podemos ver que \((I I I)=(I V)\).

Por tanto, probamos que las condiciones de la linealidad satisfacen la transformación. Podemos ver que es lineal.

Y así es como llegamos a la definición de transformación lineal:

También existen algunos casos de transformaciones lineales conocidas, como lo son las rotaciones, proyecciones y reflexiones ortogonales. En dichos casos no tenemos que probar, pues se sabe que es lineal. 

Para terminar veamos un último ejemplo:

Considere la transformación \(T: \mathbb{P}^{2} \rightarrow \mathbb{P}^{1}\), definida por \(T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a b x+c\).

Bien, tenemos una transformación lineal que toma vectores \(a x^{2}+b x+c\) y los transforma en \(a b x+c\). Usando las bases \(\left\{1, x, x^{2}\right\}\) para \(\mathbb{P}^{2}\) y \(\{1, x\}\) para \(\mathbb{P}^{2}\), tenemos que la transformación hace lo siguiente:

\[(c, b, a) \rightarrow(c, a b)\]

Ahora podemos probarla de forma sencilla. 

Paso 1:\((I) \space T\left(c_{1}, b_{1}, a_{1}\right)+T\left(c_{2}, b_{2}, a_{2}\right)=T\left(c_{1}+c_{2}, b_{1}+b_{2}, a_{1}+a_{2}\right) (I I)\)

Desarrollando el lado \((I)\)

\[T\left(c_{1}, b_{1}, a_{1}\right)+T\left(c_{2}, b_{2}, a_{2}\right)\]

\[\left(c_{1}, b_{1} a_{1}\right)+\left(c_{2}, b_{2} a_{2}\right)\]

\[\left(c_{1}+c_{2}, b_{1} a_{1}+b_{2} a_{2}\right)\]

Desarrollando el lado \((I I)\)

\[T\left(c_{1}+c_{2}, b_{1}+b_{2}, a_{1}+a_{2}\right)\]

\[\left(c_{1}+c_{2},\left(b_{1}+b_{2}\right) \bullet\left(a_{1}+a_{2}\right)\right)\]

\[\left(c_{1}+c_{2}, b_{1} a_{1}+b_{1} a_{2}+b_{2} a_{1}+b_{2} a_{2}\right)\]

Igualando \((I)\) con \((I I)\):

\[\left(c_{1}+c_{2}, b_{1} a_{1}+b_{2} a_{2}\right)=\left(c_{1}+c_{2}, b_{1} a_{1}+b_{1} a_{2}+b_{2} a_{1}+b_{2} a_{2}\right)\]

Claramente, los resultados no son iguales. Entonces, la transformación presentada no es un \(TL\).