Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad de una TL

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Al igual que las funciones, las transformaciones pueden ser definidas como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. 

Inyectividad

Una \(TL\) es inyectiva cuando, uno a uno, los valores del dominio son diferentes a los del codominio. 

\[T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right) \Rightarrow v_{1}=v_{2}\]

Esto quiere decir que si \(T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right),\) entonces \(v_{1}=v_{2}\). Básicamente, una \(TL\) inyectiva nunca tendrá dos vectores distintos en el mismo vector. Las imágenes de los vectores diferentes son distintas. 

Para saber si una \(TL\) es inyectiva usamos el siguiente teorema:

Esto quiere decir que si solo hallamos el cero (elemento nulo del espacio perteneciente) como generador del núcleo de una \(TL\), será inyectiva. O, en otras palabras, cuando la \(\operatorname{dim}(N u c(T))=0, T\) será inyectiva.

Por ejemplo, para que la transformación lineal \(T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) sea inyectiva, su núcleo solamente debe ser el vector nulo:

\[N u c(T)=\{(0,0)\}\]

Es decir, para verificar si una \(\textbf{TL}\) es inyectiva, solo tenemos que ver si la dimensión de su núcleo es \(0\). 

Nota: en el teorema la flecha de implicación \((\Longleftrightarrow)\) apunta a ambos lados. Esto nos permite concluir que:

Si \(N u c(T)=\{0\}, T\) es inyectiva. Y, si \(T\) es inyectiva, entonces \(N u c(T)=\{0\}\). Recuerda siempre esa dualidad.

Sobreyectividad

La sobreyectividad está estrechamente relacionada con la imagen de la \(TL\).

Decimos que una \(TL\) es sobreyectiva si su imagen es completamente igual al codominio. 

Es decir, todos los vectores del codominio también están en la imagen. 

Como sabemos, la imagen siempre está contenida en el dominio de la \(TL\). Por tanto, decir que son iguales también implica decir que tienen la misma dirección:

Entonces, para saber si una \(\boldsymbol{T} \boldsymbol{L}\) es sobreyectiva, simplemente comparamos la dimensión de su imagen con la dimensión de su codominio. 

Nota: observa nuevamente la dualidad de la implicación. Si \(\operatorname{dim}({Im}(T))=\operatorname{dim}(\text {codominio})\), entonces \(T\) es sobreyectiva. De la misma forma, si \(T\) es sobreyectiva, tenemos que \(\operatorname{dim}({Im}(T))=\operatorname{dim}(\text {codominio})\).

Biyectividad

Por último, si una \(TL\) es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, decimos que es biyectiva. También es posible decir que \(T\) es un isomorfismo.

Un consejo, si las dimensiones del dominio y codominio de una \(TL\) son iguales, entonces tenemos que:

Tenemos que si \(T\) es inyectiva, también es sobreyectiva. De la misma forma, si \(T\) es sobreyectiva, también es inyectiva. Por tanto, en ambos casos \(T\) es biyectiva.

Tener eso en mente suele ahorrarnos mucho tiempo en los exámenes. Sin embargo, recuerda que solo es válido si las dimensiones del dominio y codominio son las mismas.

Nota: dos espacios vectoriales, \(V\) y \(W\), son isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva de \(V\) en \(W\).

En resúmen

Inyectiva \(\rightarrow N u c(T)=\{0\}\). Cada elemento del codominio es alcanzado máximo una vez.

Sobreyectiva \(\rightarrow \operatorname{dim}({Im}(T))=\operatorname{dim} (\text {codominio})\). Todos los elementos del codominio son alcanzados al menos una vez.

Biyectividad \(\rightarrow\) Inyectividad y Sobreyectividad al mismo tiempo. Todo los elementos del codominio son alcanzados exactamente una vez. 

¡Y eso es todo amigos, sigamos practicando en la sección de ejercicios!