Matrices que Representan una TL: Aplicación

¡Vamos allá! Ya sabemos que toda transformación lineal es una matriz, ¿verdad? Y es posible encontrar dicha matriz. ¿Pero cuál es la utilidad o aplicaciones de estas matrices?

Vamos a usar la siguiente analogía para entender el concepto:

\[\text{Base}\rightarrow \text{Idioma}\] 

\[\text {Vector} \rightarrow \text {Idea}\]

\[\text {Coordenada}\rightarrow\text{Palabra}\]

Si te digo que hay un animal que ladra y mueve la cola, asocias estas características a un perro (idea), ¿verdad?

Podemos expresar estas ideas a través de palabras (animal que ladra y mueve la cola) de distintas maneras según el idioma, ¿cierto? Por ejemplo,

\[\text{Español} \rightarrow \text{Gato}\]

\[\text{Ingles}\rightarrow \text{Cat}\]

\[\text{Alemán}\rightarrow \text{Katze}\]

Es decir, podemos representar la idea en varios idiomas distintos, y para cada idioma tendremos una palabra diferente, pero en esencia será la misma idea. 

Volviendo al mundo matemático, cada base (idioma) tendrá una coordenada (palabra) diferente para expresar el vector (idea). 

¡Entonces, veamos cómo funciona en la práctica!

Uno de los ejemplos que hicimos para encontrar la matriz que representa una \(TL\) es el siguiente:

\[T: R^{2} \longrightarrow R^{3}\]

\[T(x, y)=(2 x-y, x-2 y, x+2 y)\]

Usando \(\alpha\) como base del dominio y \(\beta\) del codominio. 

\[\alpha=\{(1,0),(1,1)\}\]

\[\beta=\{(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)\}\]

La matriz encontrada es:

\[T=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 4\end{array}\right]\]

Podemos pensar que esa matriz lleva al vector \((x, y)\) en las coordenadas de la base \(\alpha\) (dominio) al vector \(T(x, y)\) en las coordenadas de la base \(\beta\) (codominio)

Por ejemplo, siendo \((x, y)=(-2,3)\), tenemos:

\[T(x, y)=(2 x-y, x-2 y, x+2 y)\]

\[T(-2,3)=(-4-3,-2-6,-2+6)=(-7,-8,4)\]

Ahora vamos a reescribir el vector \((-2,3)\) en la base \(\alpha\) del dominio. ¿Qué quiere decir eso? Que queremos encontrar los valores de \(a\) y \(b\) que satisfagan la siguiente relación:

\[(-2,3)=a(1,0)+b(1,1)\]

Si separamos los vectores de la combinación lineal, son los vectores del dominio \(\alpha\). Por tanto, resolviendo el sistema lineal tenemos que:

\[(-2,3)=-5(1,0)+3(1,1)\]

Es decir, las coordenadas del vector \((-2,3)\) escrito en la base \(\alpha\) son \((-5,3)\):

\[[(-2,3)]_{\alpha}=(-5,3)\]

Y aplicándolas en la matriz:

\[\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-5 \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-7 \\ -8 \\ 12\end{array}\right]\]

Obtenemos el vector \((-7,-8,12)\), que es exactamente el resultado de \(T(-2,3)\) en la base \(\beta\).

Para una mejor comprensión, haremos los cálculos de la base \(\beta\) para asegurar que tendremos el mismo resultado:

\[T(-2,3)=(-7,-8,4)\]

Escribiendo el vector \((-7,-8,4)\) como una combinación lineal de los vectores de la base \(\beta\), tendremos

\[(-7,-8,4)=-7(1,0,0)-8(0,1,1)+12(0,0,1)\]

\[[(-7,-8,4)]_{\beta}=(-7,-8,12)\]

Que es el mismo valor que encontramos en la base \(\alpha\). ¡Ves! Estamos expresando la misma idea (vector) solo que en bases distintas.

Por tanto, podemos interpretar que \(T\) lleva al vector \((x, y)\) a \((2 x-y, x-2 y, x+2 y)\), mientras que la matriz

\[T=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 4\end{array}\right]\]

lleva las coordenadas de \((x, y)\) en la base \(\alpha\) a las coordenadas de \(T(x, y)\) en la base \(\beta\). 

Si decimos que:

\[(x, y)=u \space \space \text { y } \space \space \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 4\end{array}\right]=[T]_{\beta \leftarrow \alpha}\]

Podemos esquematizar la relación matricial anterior como:

\[[T(u)]_{\beta}=[T]_{\beta \leftarrow \alpha} \bullet [u]_{\alpha}\]

Y eso nos lleva al siguiente teorema:

De tal forma, decimos que la matriz \(T]_{\beta \longleftarrow} \alpha\) es la matriz de representación de \(T\), en las bases \(\alpha\) y \(\beta\).

¡Veamos otro ejemplo!

Ejemplo 2: sea

\[T: R^{3} \longrightarrow R^{2}\]

\[T(x, y, z)=(x+y, 2 z)\]

Encuentre la matriz de la transformación lineal usando \(\alpha\) como base del dominio y \(\beta\) del codominio.

\[\alpha=\{(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)\}\]

\[\beta=\{(1,0),(0,1)\}\]

Vamos a escribir los elementos de la base \(\alpha\) como la combinación lineal de los elementos de \(\beta\):

\[T(1,0,0)=\left(1+0,2^{*} 0\right)=(1,0)\]

\[T(0,1,1)=\left(0+1,2^{*} 1\right)=(1,2)\]

\[T(0,0,1)=\left(0+0,2^{*} 1\right)=(0,2)\]

Escribiendo esos vectores como la combinación lineal de los vectores de la base \(\beta\) tenemos

\[T(1,0,0)=(1+0,2 * 0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1)\]

\[T(0,1,0)=\left(0+1,2^{*} 1\right)=(1,2)=1(1,0)+2(0,1)\]

\[T(0,0,1)=(0+0,2^{*}1)=(0,2)=0(1,0)+2(0,1)\]

Entonces, la matriz será

\[T_{\beta \leftarrow \alpha}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]\]

Entonces, dependiendo del vector que utilicemos, lo representaremos de formas distintas dependiendo de la base. Ten en cuenta que la idea (el vector) es la misma solo que representada en bases (idiomas) diferentes.

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!