Matriz de Cambio de Base

Normalmente, cuando trabajamos con vectores lo hacemos en una determinada base, sin embargo, en un espacio vectorial podemos cambiarlas. 

¡Tranquilo, en esta ocasión nos encargaremos de estudiar cómo se hace!

No sin antes repasar algunos conceptos.

Transformación Identidad \(\mathrm{X}\) Matriz Identidad

¿Te acuerdas de la Transformación Identidad? Si, la que no hace nada. Pues necesitaremos usarla en algunos casos.

Junto a ella tenemos la Matriz Identidad. También es necesario que recuerdes cómo escalonar. 

Para evitar confusiones usaremos las siguiente notaciones:

Notación: La Transformación Identidad será representada por \(Id\).

Notación: La Matriz Identidad será representada por \(I\).

Matriz de Cambio de Base

Bien, tenemos esta fórmula:

\[[T(u)]_{\alpha}=[T]_{\alpha \longleftarrow \beta} \cdot[u]_{\beta}\]

Vamos a sustituir \(T\) por la transformación identidad, es decir, \(T=I d\). Sustituyendo en la fórmula, tendremos que:

\[[I d(u)]_{\alpha}=[I d]_{\alpha \longleftarrow \beta} \cdot[u]_{\beta}\]

¡Espera, un segundo! La transformación identidad no le hace nada al vector: no transforma al vector en nada. Por tanto, \(I d(u)=u\). Sustituyendo en la fórmula, tenemos:

\[[u]_{\alpha}=[I d]_{\alpha \longleftarrow \beta} \cdot[u]_{\beta}\]

La fórmula quiere decir la transformación identidad toma un vector escrito en las coordenadas de una base \(\beta\), y lo escribe, siendo el mismo vector, en las coordenadas de una base \(\alpha\). La transformación identidad no transforma al vector, SOLO LO CAMBIA DE BASE.

Es por esto que la matriz \([I d]_{\alpha \longleftarrow} \beta\) es llamada Matriz de Cambio de Base. Estrictamente hablando, siempre tenemos que definir las bases sobre las que estamos trabajando, así que veamos su definición.

¿Y cuál es esa matriz? ¿La matriz identidad?

¡No! No es la matriz identidad, puede ser cualquier matriz. Veamos un ejemplo:

Sea: \(I d: R^{3} \longrightarrow R^{3}\), con \(\alpha=\{(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)\}\) y \(\beta=\{(-4,3,0),(0,0,1),(3,4,0)\}\) como base de \(R^{3}\). Calcule \([I d]_{\alpha \longleftarrow \beta}\).

Ya sabemos que no es la matriz identidad, vamos a calcularlo de la manera convencional:

Tenemos que escribir los vectores en las coordenadas de la base \(\alpha\):

\[(-4,3,0)=a_{1}(1,1,0)+b_{1}(0,0,1)+c_{1}(1,0,0)\]

Será \(3\) el primer vector menos \(7\) veces el tercero.

\[a_{1}=3, b_{1}=0, c_{1}=-7\]

Y, por tanto:

\[[(-4,3,0)]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ -7\end{array}\right]\]

Haciendo lo mismo en el segundo vector:

Podemos ver que el vector \((0,0,1)\) está en ambas bases. Y como es el segundo vector de la base \(\alpha\), sus coordenadas en esa base son:

\[(0,0,1)=0(1,1,0)+1(0,0,1)+0(1,0,0)\]

\[[(0,0,1)]_{\alpha}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]\]

Haciéndolo en el tercer vector:

\[(3,4,0)=a_{3}(1,1,0)+b_{3}(0,0,1)+c_{3}(1,0,0)\]

Resolviendo la ecuación tenemos que:

\[a_{3}=4, b_{3}=0, c_{3}=-1\]

Y por tanto:

\[[(3,4,0)]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -1\end{array}\right]\]

Y la matriz \([I d]_{\alpha \longleftarrow \beta}\) será:

\[[I d]_{\alpha \longleftarrow\beta}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ -7 & 0 & -1\end{array}\right]\]

¿Ves? No es la matriz identidad.

¿Entonces nunca será la matriz identidad?

¡EQUIVOCADO! Esa matriz SIEMPRE será una MATRIZ IDENTIDAD cuando la matriz de cambio sea de la misma base. Es decir:

\[[I d]_{\beta \leftarrow \beta}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right]\]

Para cualquier \(\beta\) que escojamos. ¡Y esa es la matriz identidad!

Entonces recuerda que: la representación matricial de la transformación identidad solo es una matriz identidad al pasar a la misma base.

Invirtiendo la Matriz de Cambio de Base

Para cambiar la base de las coordenadas de un vector solo tenemos que multiplicarla por la matriz de cambio de base.

¿Y si quisiéramos hacer lo contrario?

Por ejemplo, en lugar de pasar de \(\beta\) a \(\alpha\) usando \([I d]_{\alpha \longleftarrow} \beta\), hagamos \([I d]_{\beta \longleftarrow \alpha}\). 

Veamos un ejemplo:

Vamos a considerar las bases \(B=\{(1,0),(0,1)\}\) y \(C=\{(1,1),(0,1)\}\), encuentre \([I d]_{C \longleftarrow B}\) y \([I d]_{B \longleftarrow C}\).

Primero vamos a encontrar \([I d]_{C \longleftarrow B}\), que es la matriz de cambio de la base \(\mathrm{B}\) a la base \(\mathrm{C}\). Vamos a escribir los elementos de la base \(\mathrm{C}\) como la combinación lineal de los elementos de la base \(\mathrm{B}\). 

\[(1,1)=1(1,0)+1(0,1) \space \text { y } \space  (0,1)=0(1,0)+1(0,1)\]

Entonces:

\[[I d]_{C-B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]\]

Ahora vamos a calcular \([I d]_{B \longleftarrow C}\). Escribiendo los elementos de la base \(\mathrm{B}\) como la combinación lineal de los elementos de la base \(\mathrm{C}\).

\[(1,0)=\alpha_{1}(1,1)+\alpha_{2}(0,1) \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}\alpha_{1}=1 \\ \alpha_{1}+\alpha_{2}=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}\alpha_{1}=1 \\ \alpha_{2}=-1\end{array}\right.\right.\]

\[(0,1)=\beta_{1}(1,1)+\beta_{2}(0,1) \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}\beta_{1}=0 \\ \beta_{1}+\beta_{2}=1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=0 \\ \beta_{2}=1\end{array}\right.\right.\]

Entonces:

\[[I d]_{B-C}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right]\]

Es decir, \([I d]_{C \longleftarrow B} \neq[I d]_{B \longleftarrow C}\).

Por lo general esto suele ocurrir, así que debes estar atento. 

Si hacemos \([I d]_{\beta \longleftarrow \alpha} \cdot[I d]_{\alpha \longleftarrow \beta}\), podemos recordar que esa es la representación matricial de una composición de transformaciones. Entonces, \([I d]_{\beta \longleftarrow \alpha} \cdot[I d]_{\alpha \longleftarrow \beta}=[I d \circ I d]_{\beta \leftarrow \beta}\), pero como \(I d \circ I d(u)=I d(I d(u))=I d(u)\), podemos decir que \(I d \circ I d=I d\).

O, en otras palabras, no importa cuantas veces apliquemos la transformación identidad en un vector, el resultado siempre será el mismo.

Y, por tanto, [I d]_{\beta \longleftarrow \alpha} \cdot[I d]_{\alpha \longleftarrow \beta}=[I d]_{\beta \leftarrow \beta}=I, que es la matriz identidad. Pero recuerda que \(A^{-1} \cdot A=I\), entonces podemos concluir que:

\[[I d]_{\beta \longleftarrow \alpha}=[I d]_{\alpha \longleftarrow \beta}^{-1}\]

¡CUIDADO! Esto solamente es válido para la transformación identidad. Si funciona para ninguna otra \(T\). 

Para cualquier otra \(T\), no bastaría con solamente invertir la matriz. Entonces, en general:

\[[T]_{\beta \longleftarrow \alpha} \neq[T]_{\alpha \leftarrow \beta}^{-1}\]

Matrices Semejantes

Además de poder cambiar la base de los vectores a través de la matriz de cambio de base, y hacer lo contrario simplemente invirtiendo la matriz, existe un método práctico para cambiar \([T]_{\gamma \leftarrow \gamma}\) a, por ejemplo, otra \([T]_{\beta \leftarrow \beta}\), sin tener que hacer todo el proceso.

En realidad, es que podemos hacerlo de una forma práctica con las matrices de cambio de base, pero principalmente por el hecho de que una matriz \([T]_{\gamma \leftarrow \gamma}\) siempre será semejante a \([T]_{\beta \leftarrow \beta}\).

Es decir, una matriz que representa \(T\) que va de una base a la misma base, siempre será semejante a otra matriz que represente \(T\) que vaya de una base a la misma base.

¿Pero qué son las matrices semejantes?

Podemos decir que \(C=[I d]_{\beta \leftarrow \gamma}, C^{-1}=[I d]_{\gamma \leftarrow \beta}, A=[T]_{\beta \leftarrow \beta}, B=[T]_{\gamma \leftarrow \gamma}\). Entonces, la semejanza de matrices será:

\[[T]_{\beta \leftarrow \beta}=[I d]_{\beta \leftarrow \gamma} \cdot[T]_{\gamma \leftarrow \gamma} \cdot[I d]_{\gamma \leftarrow \beta}\]

La matriz de la derecha cambiaría el vector en la base \(\beta\) a la base \(\gamma\).  La matriz del medio aplicaría la transformación \(T\) en el vector, manteniéndolo en la base \(\gamma\). Y la matriz de la izquierda cambiaría la base de \(\gamma\) a \(\beta\).

Para recordar la fórmula, simplemente siga las flechas en las bases de derecha a izquierda. Estas van de \(\beta\) a \(\gamma\), luego de \(\gamma\) a \(\gamma\), y luego de \(\gamma\) a \(\beta\). Por último, va de \(\beta\) a \(\beta\).