TL Inversa

Repasemos un poco las \(TL’s\) compuestas:

Veamos un ejemplo con las siguientes transformaciones:

\[T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow M_{2 \times 2}\]

\[T(x, y, z)=\left[\begin{array}{cc}x & y \\ z & x+y+z\end{array}\right]\]

\[S: M_{2 \times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}\]

\[S\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\right)=(a, b, c)\]

Vamos a componer \(S\) con \(T\).

\[S(T(x, y, z))=S\left(\left[\begin{array}{cc}x & y \\ z & x+y+z\end{array}\right]\right)=(x, y, z)\]

Con eso, podemos ver que:

\[S \circ T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}\]

\[(S \circ T)(x, y, z)=(x, y, z)\]

¡Espera! Entonces esa transformación lineal compuesta toma un vector en \(\mathbb{R}^{3}\)  y lleva al mismo vector a \(\mathbb{R}^{3}\). ¡Si! Esa es la transformación que no hace nada.

¿Y para qué nos sirve?

Cuando esto ocurre decimos que \(S \circ T\) es la Transformación Identidad. No la confundas con la matriz completa de \(0's\) y \(1's\). Estamos usando una transformación lineal, no una matriz.

\[(S \circ T)(x, y, z)=(x, y, z) \Leftrightarrow\]

\[I d(x, y, z)=(x, y, z)\]

Y ahora viene su importancia. Si es transformación compuesta es la Transformación Identidad, entonces \(S\) es la inversa de \(T: S=T^{-1}\). Solo tienes que recordar el concepto de función inversa.

\[f^{-1}(f(a))=a, a \in \mathbb{R}\]

Cómo armar la Inversa de una \(TL\)

Ya sabemos cómo hacer la composición de las \(T L s\). Sin embargo, luego del ejemplo que acabamos de ver surgen otras preguntas.

¿Será que toda \(TL\) tiene una inversa? ¿Y cómo hallamos la \(TL\) inversa?

Lo primero que tenemos que saber es que una función tiene inversa solamente si es biyectiva.

Por ejemplo, la siguiente \(TL\):

\[T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\]

\[T(x, y, z)=(z, x-2 y, x+2 y)\]

¿Será que es invertible? O mejor dicho: “¿Será que es biyectiva?”

\[T(x, y, z)=(z, x-2 y, x+2 y)=0\]

\[\left\{\begin{array}{l}\qquad\qquad\qquad z=0 \\ x-2 y=0 \Rightarrow x=2 y \Rightarrow x=0 \\ x+2 y=0 \Rightarrow 4 y=0 \Rightarrow y=0\end{array}\right.\]

Tenemos que \(N u c(T)=\{0\}\), por tanto, es inyectiva.

Como las dimensiones del dominio y codominio son las mismas, si es inyectiva también es sobreyectiva. Por tanto, es biyectiva.

Nota: otra manera de saber si una transformación lineal es invertible es mirando su matriz en la base canónica. Si la matriz es invertible, la \(TL\) también lo será.

Volviendo al ejemplo, encontramos que \(T\) es biyectiva y, por tanto, podemos invertirla. ¿Cómo lo hacemos?

Bien, primero vamos a definir una base para el dominio, de preferencia la canónica:

\[\varepsilon=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\]

Vamos a calcular la imagen de esos vectores, usando la fórmula de la \(TL\):

\[T(1,0,0)=(0,1,1)\]

\[T(0,1,0)=(0,-2,2)\]

\[T(0,0,1)=(1,0,0)\]

Queremos saber la expresión de \(T^{-1}\). Si \(T^{-1}\) tiene que hacer el camino inverso de \(T\), es decir, llevar los vectores de vuelta, solo tenemos que sustituir lo que hayamos anteriormente:

\[T^{-1}(0,1,1)=(1,0,0)\]

\[T^{-1}(0,-2,2)=(0,1,0)\]

\[T^{-1}(1,0,0)=(0,0,1)\]

Ten en cuenta que el conjunto de vectores \(\{(0,1,1),(0,-2,2),(1,0,0)\}\) forma una base para el dominio de \(T^{-1}\), ya que:

\[T^{-1}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}\]

Una vez obtenida la base para el dominio de \(T^{-1}\) y la imagen de cada uno de los vectores de la base, podemos hallar una expresión para \(T^{-1}\), tal como hacemos para una \(T\) cualquiera. Simplemente tenemos que aplicar todos los pasos aprendidos hasta ahora:

\[(x, y, z)=a(0,1,1)+b(0,-2,2)+c(1,0,0)\]

Aplicando \(T^{-1}\) en ambos lados:

\[T^{-1}(x, y, z)=a T^{-1}(0,1,1)+b T^{-1}(0,-2,2)+c T^{-1}(1,0,0) \Rightarrow\]

\[T^{-1}(x, y, z)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) \Rightarrow\]

\[T^{-1}(x, y, z)=(a, b, c)(I)\]

Vamos a hallar los valores para \(a, b, c\):

\[(x, y, z)=a(0,1,1)+b(0,-2,2)+c(1,0,0) \Rightarrow\]

\[(x, y, z)=(c, a-2 b, a+2 b) \Rightarrow\]

\[\left\{\begin{array}{l} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad c=x \\y=a-2 b \Rightarrow a=y+2 b \Rightarrow a=\frac{y+z}{2} \\ z=a+2 b \Rightarrow z=y+4 b \Rightarrow b=\frac{z-y}{4}\end{array}\right.\]

Sustituyendo en \((I)\):

\[T^{-1}(x, y, z)=\left(\frac{y+z}{2}, \frac{z-y}{4}, x\right)\]

Y así calculamos la expresión para la inversa de \(T\).

Con matrices…

¿Y en caso de que el enunciado de la transformación en forma de matriz? En tal caso solo tenemos que invertir la matriz. Mira:

\[T(x, y, z)=(z, x-2 y, x+2 y)\]

\[T(x, y, z)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\]

Invirtiendo:

\[\left[\begin{array}{ccc|ccc}0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]\]

\[\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 / 4 & 1 / 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]\]

\[\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 / 4 & 1 / 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]\]

Entonces, la matriz inversa es \(\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 0 & -1 / 4 & 1 / 4 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\), que es exactamente la representación matricial de \(T^{-1}(x, y, z)=\left(\frac{y+z}{2}, \frac{z-y}{4}, x\right)\).