Caso explícito

Definición

Antes de aprender a integrar en superficies, debemos saber cómo describirlas. Una superficie es un objeto en el espacio, por tanto, es normal pensar que son necesarias \(3\) variables para describirla.

Ahora imagina la siguiente ecuación \(z=1-x-y\), observando la imagen de abajo, ¿dirías que esta representa una superficie?

Una vez vista la superficie, podemos pensar qué relación tiene esto con la parametrización. ¿qué dirías si te digo que con un valor de \(x\) y otro de \(y\) puedes encontrar \(z\)? Solo debes sustituir en \(z=1-x-y\). Es decir, no necesitamos \(3\) variables para parametrizar una superficie, sino \(2\).

Esto significa que la superficie tiene como parámetros las variables \(x\) y \(y\).

¿Ahora entiendes la relación que existe con la parametrización? Si todavía no entiendes no te preocupes, luego veremos ejemplos de parametrización. Pero antes, vamos a definir la parametrización de un modo más formal.

Entonces, decimos que una superficie \(S\) es parametrizada por una función vectorial \(\varphi\), tal que:

\[\varphi(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\] 

Dentro de un dominio \(D\) del plano \(uv\). Utilizamos \(u\) y \(v\) como parámetros, pero tú puedes escoger las variables que quieras. No te espantes con esta notación, todo va a quedar más claro a medida que avanzamos en la teoría. 

Parametrización explícita 

Este es el tipo de parametrización más simple. Fue el que utilizamos anteriormente para demostrar la idea de la parametrización. Esta ocurre cuando una de las variables puede ser escrita como función de las otras dos:

\[\left\{\begin{aligned} z &=f(x, y) \\ x &=g(y, z) \\ y &=h(x, z) \end{aligned}\right.\]

Muchas veces usamos este tipo de parametrización sin siquiera saberlo.

Ejemplo: vamos a analizar la ecuación del plano \(2 x+y+7 z=8\) y escribir su forma paramétrica explícita. 

Mirando la ecuación del plano podemos notar que es posible escribir \(z=f(x,y)\). Ahora vamos encontrar \(f(x,y)\):

\[2 x+y+7 z=8\]

\[7 z=8-2 x-y\]

\[z=f(x, y)=\frac{8-2 x-y}{7}\]

¡Y listo! Encontramos nuestra primera superficie parametrizada. Para terminar solamente haremos una cosa más, poner la parametrización en el formato de la función vectorial \(\varphi(u,v)\).

Decimos que \(x=u, y=v\) y \(z=\frac{8-2 u-v}{7}\), entonces:

\[\varphi(u, v)=\left(u, v, \frac{8-2 u-v}{7}\right)\]

Encontrando el dominio de los parámetros

Al parametrizar una superficie debemos estar bien atentos en cuanto al cambio del dominio de las variables. No quedó muy claro, ¿verdad? Vamos a tomar como ejemplo la ecuación que vimos al inicio, \(z=1-x-y\).

Sin definir ningún dominio este plano es infinito, es válido para cualquier valor de \(x\), \(y\) y \(z\). Pero no queremos todo el plano, sino una parte de él. Entonces, vamos a encontrar el dominio de la superficie representada en la imagen. 

La cual nos está diciendo que los puntos que estamos usando en la parametrización son la variables \(x\), \(y\), ¿cierto? Entonces, si decimos cuáles puntos \(x\), \(y\) queremos trabajar, conseguimos limitar la superficie. 

En el primer ejemplo solo queremos la parte del plano en el primer octante. Conseguimos imponer eso si \(x\), \(y\) están dentro de este triángulo:

“Bien, ¿pero cómo escribimos esta región matemáticamente?” De la misma forma que lo hacíamos en las integrales dobles región de tipo I o tipo II. Por tanto, podemos decir que:

\[\left\{\begin{array}{c}0 \leq y \leq 1-x \\ 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.\]

Cuando nos pidan parametrizar una superficie mantente atento, por si esta puede ser escrita como \(z=f(x, y), x=g(z, y), y=h(x, z)\). Si puede, los parámetros son las variables de la función. El resto es hallar el dominio en el que estos variarán (en este caso fue un triángulo).