Teorema de Stokes

Cuando vamos a calcular una integral de superficie por la definición, debemos hacer su parametrización explícita. En ocasiones es difícil realizar esta parametrización, pero en esos casos podemos utilizar el teorema de Stokes.

Teorema de Stokes

Siendo \(S\) una superficie orientada positivamente, si \(\vec{F}=(F_{1}, F_{2}, F_{3})\) es un campo vectorial definido en todo el dominio de integración y si la frontera de \(S\), llamada \(\partial S\), está orientada positivamente, por el Teorema de Stokes:

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s=\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d r\]

Tranquilo, vamos a explicar todo sobre este teorema. Estas son las hipótesis del teorema:

1) La curva de la integral de línea es la frontera de \(S\), es decir, es una curva cerrada.

2) El campo \(\vec{F}\) está definido en todos los puntos del dominio, es decir, no podemos tener singularidades. Ej: división por \(0\), raíz de un número negativo, etc.

3) La superficie debe estar orientada positivamente.

Más adelante nos espera un repaso sobre algunos conceptos.

¡Veamos un ejemplo!

Una vez que estemos seguros de que todas las hipótesis son verdaderas, podemos aplicar el teorema de Stokes. “¿Pero cuándo es realmente útil?, no entiendo mucho para qué sirve.”

El teorema es útil cuando tenemos una integral de línea en \(R^{3}\) que no puede ser resuelta mediante el método directo.

Ejemplo: siendo \(\gamma\) la curva dada por la intersección del paraboloide \(y=2-(x^{2}+z^{2}\) con el semicono \(y=\sqrt{x^{2}+z^{2}}\) orientada en sentido antihorario cuando es observada desde el origen de los ejes coordenados, calcule:

\[\int_{\gamma} z e^{x} d x+\sqrt[3]{y^{2}+1} d y+\left(e^{x}-x+\cos \left(z^{2}\right)\right) d z\]

Paso 1: graficar la región

Tenemos un semicono y un paraboloide, ambos con simetría en el eje \(y\), pues la variable \(y\) es la que posee signo diferente en las ecuaciones.

La intersección entre las superficies es la curva en negro, la que el problema llama \(\gamma\). Como las dos superficies tienen abertura circular, ya que los coeficientes de \(x^{2}\) y de \(y^{2}\) son iguales, la curva es una circunferencia, como podemos ver.

Si intentamos parametrizarla y ponerla en el campo \(\vec{F}\) íbamos a obtener un cálculo complicado. Por tal razón, como la curva es cerrada, podemos utilizar el teorema de Stokes.

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s=\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d r\]

¿Cuál es ese término que está en la integral doble?

El término \(rot\bigg(\vec{F}\bigg)\) representa el campo vectorial rotacional de \(\vec{F}\), que llamamos muchas veces “rotacional” de \(\vec{F}\). Este está definido por:

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]

Podemos obtener la expresión haciendo el producto vectorial:

\[rot \bigg(\vec{F}\bigg)= \nabla \times \vec{F}\]

Donde \(\nabla\) es el operador de derivadas parciales:

\[\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\]

Aplicando \(\nabla\) al campo vectorial, tenemos:

\[\nabla \times \vec{F}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3}\end{array}\right|=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]

Entonces, puedes hacer el producto vectorial o simplemente aprenderte la expresión del vector, es tu desición.

Paso 2: calcular \(rot \bigg(\vec{F}\bigg)\).

\[\vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right)=\left(z e^{x}, \sqrt[3]{y^{2}+1}, e^{x}-x+\cos \left(z^{2}\right)\right)\]

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(0-0, e^{x}-\left(e^{x}-1\right), 0-0\right)=(0,1,0)\]

Es simple, ¿verdad? Aquí te va un consejo:

Cuando calcules el rotacional y encuentres una expresión simple, sería buena idea aplicar el teorema de Stokes, en lugar de calcular la integral de línea por la definición.

Paso 3: encontrar la expresión de \(\gamma\)

Haciendo la intersección entre las ecuaciones de las superficies:

\[y=2-\left(x^{2}+z^{2}\right) \rightarrow x^{2}+z^{2}=2-y\]

\[y=\sqrt{x^{2}+z^{2}} \rightarrow y=\sqrt{2-y}\]

\[y^{2}+y-2=0\]

Las soluciones de esa ecuación son \(y=1\) y \(y=-2\), como la curva está en la parte positiva del eje \(y\), tenemos que \(y=1\). Sustituyendo en una de las ecuaciones:

\[x^{2}+z^{2}=1\]

Por tanto, tenemos una circunferencia paralela al plano \(xz\) en \(y=1\).

Paso 4: escoger \(S\) y parametrizarla

Existen infinitas superficies con frontera \(\gamma\), vamos a escoger la que más simplifique el problema. Ten en cuenta que, si escogemos el círculo contenido en el plano \(y=1\), tendremos un vector normal paralelo a \(y\), con las otras coordenadas nulas, lo que simplifica mucho el cálculo. Eso es lo que haremos. Vamos a parametrizar \(S\) de la siguiente forma:

\[\varphi(x, z)=(x, 1, z)\]

Con \(D={(x,z)|x^{2}+y^{2}\leq 1}\). Tenemos \(y\) constante, mientras que \(x\) y \(z\) varían dentro de la circunferencia.

Paso 5: calcular \(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \times \frac{\partial \varphi}{\partial z}\)

\[\frac{\partial \varphi}{\partial x}=(1,0,0)\]

\[\frac{\partial \varphi}{\partial z}=(0,0,1)\]

\[\frac{\partial \varphi}{\partial x} \times \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=(0,-1,0)\]

Ahora debemos analizar la orientación del vector. Como \(\gamma\) debe estar orientada en sentido antihorario cuando es observada desde el origen, el vector \(\vec{n}\) debe apuntar hacia \(y\) positiva, como podemos observar:

Por tanto, el producto vectorial que buscamos es lo opuesto a lo que calculamos:

\[\frac{\partial \varphi}{\partial z} \times \frac{\partial \varphi}{\partial x}=(0,1,0)\]

Paso 6: aplicar el teorema

\[\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r=\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s=\iint_{D} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z} \times \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) d x d z\]

\[\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r=\iint_{D}(0,1,0) \cdot(0,1,0) d x d z\]

\[\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r=\iint_{D} d x d z= \text{Area } (D)\]

Como \(D\) es un círculo de radio \(1\), tenemos:

Repaso - Orientación relativa entre superficies y bordes

Una superficie es orientada por un campo de vector unitarios \(\vec{n}\), normales a ella. Con base en la orientación de \(S\), podemos orientar su frontera positivamente. Observa la siguiente figura:

Imagínate andando sobre la curva \(C\) con la cabeza en dirección y sentido del vector \(\vec{n}\). Podrás ver la superficie a tu izquierda, ¿cierto? Entonces, la frontera \(C\) está orientada positivamente en relación a \(S\).

Superficies cerradas

Como el teorema de Stokes involucra una superficie y su borde, solamente podemos usarlo en el caso de tener una superficie abierta. Si la superficie es cerrada, como en una esfera por ejemplo, esta no tiene frontera, entonces el valor de la integral de superficie es nulo.

Veamos cómo funciona el teorema de Stokes en superficies cerradas.

Utilizaremos como ejemplo una esfera cerrada con vectores normales apuntando hacia afuera, como en la figura

Vamos a cortar esta esfera en dos semi esferas, cada una de ellas es una superficie abierta con un borde igual para ambas partes. La orientación de los bordes son las siguientes:

Aplicando el teorema de Stokes en cada una, tendremos:

\[\iint_{S_{1}}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\oint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot d r\)

\[\iint_{S_{2}}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\oint_{\partial S_{2}} \vec{F} \cdot d r\]

La integral del rotacional del campo en la esfera es igual a la suma de las integrales de las semi esferas:

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\iint_{S_{1}}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S+\iint_{S_{2}}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S\]

Sustituyendo la integral de superficie por la igualdad encontrada en la aplicación del teorema de Stokes de las dos semi esferas, tendremos:

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\oint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot d r+\oint_{\partial S_{2}} \vec{F} \cdot d r\]

Como ambos bordes, \(\partial S_{1}\) y \(\partial S_{2}\) son iguales, pero tienen sentidos opuestos, tenemos:

\[\oint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot d r=-\oint_{\partial S_{2}} \vec{F} \cdot d r\]

Entonces, tendremos:

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\oint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot d r-\oint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot d r\]

\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=0\]

Por tanto, al aplicar el teorema de Stokes en una superficie cerrada encontramos que la integral de superficie tiene valor nulo.

¡Vamos a los ejercicios!

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