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Caso escalar
¡Bienvenidos, espero que estén bien!
En esta ocasión, vamos a aprender a calcular áreas. Por tanto, es una buena idea refrescar el concepto de parametrización de superficies, asimismo, otro concepto muy utilizado en integrales de superficie es el de integrales múltiples.
Repaso - Producto vectorial
Antes de comenzar a estudiar las integrales de superficie para funciones escalares, vamos a recordar cómo encontrar el producto vectorial entre dos vectores.
Sean dos vectores: \(\overrightarrow{v_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\) y \(\overrightarrow{v_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\), el producto vectorial \(\overrightarrow{v_{1}} \times \overrightarrow{v_{2}}\) será:
\[\overrightarrow{v_{1}} \times \overrightarrow{v_{2}}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{array}\right|\]
Resolviendo el determinante, donde las flechas azules indican los productos positivos y las rojas los productos negativos, tenemos:
\[\overrightarrow{v_{1}} \times \overrightarrow{v_{2}}=\left(y_{1} z_{2}-y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1}-z_{2} x_{1}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)\]
Ya que hemos recordado cómo se calcula un producto vectorial, podemos entender las integrales de superficie.
Área
Considere una superficie parametrizada por \(\varphi (u,v)\), donde \((u, v) \in D\), su área es dada por:
\[A(S)=\iint_{D}\left\|\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right\| d u d v\]
Lo que es lo mismo que:
\[A(S)=\iint_{D}\|\vec{N}\|_{d u d v}\]
O sea, la integral doble del módulo del vector normal a la superficie en el dominio de su parametrización.
Deducción
No desesperes, vamos a entender esta fórmula. Imagina que dividimos el dominio de una superficie regular en varios sub-rectángulos \(R_{i j}\). Para cada uno de esos rectángulos del dominio, tenemos sub-áreas correspondientes en la superficie, \(S_{i j}\) parte:
Vamos a escoger \(\left(u_{i}, v_{j}\right)\) como vértice izquierdo inferior de la parte y aproximar el área a partir de dicho punto de una forma parecida a la que lo hicimos en integrales dobles. Por la figura, podemos observar que los dos lados de la parte que parten del punto que escogimos pueden ser aproximados por los siguientes vectores:
Estos vectores, a su vez, pueden ser aproximados por vectores tangentes a la superficie en el punto que escogimos, dados por \(\Delta v r_{v}\) y \(\Delta u r_{u}\). Vamos a representarlos:
Entonces, el objetivo será aproximar el área azul (de la superficie) por el área en gris, formada por los vectores \(\Delta u r_{u}\) y \(\Delta v r_{v}\). Ya debes saber que el módulo del producto vectorial entre dos vectores nos da el área entre ellos, ¿cierto? De tal forma, vamos a aproximar \(S_{ij}\) por
\[\| \| \Delta u r_{u} \times \Delta v r_{v}\|=\| r_{u} \times r_{v} \| \Delta u \Delta v\]
Sin embargo, \(S_{ij}\) solamente es un pedazo de la superficie, lo que queremos es \(S\), el sumatorio de cada parte. Entonces, podemos aproximar:
\[S \approx \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left\|r_{u} \times r_{v}\right\| \Delta u \Delta v\]
Esta es una aproximación, no una igualdad. Sin embargo, de la misma forma que vimos en las integrales simples, dobles y triples, la intuición nos dice que, si hacemos las divisiones \(m\) y \(n\) del dominio tiende al infinito, esta Suma de Reimann se convierte en un integral. Entonces, tenemos:
\[\lim _{m, n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left\|r_{u} \times r_{v}\right\| \Delta u \Delta v=\iint_{D}\left\|\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right\| d u d v\]
Por tanto, el resultado de dicha integral será el área de la superficie parametrizada por \(\varphi\). Recuerdala, pues la utilizaremos bastante.
Módulo del vector normal
Ya sabemos parametrizar superficies, calcular el vector normal a la superficie e incluso cómo resolver integrales dobles. ¿Pero cómo se calcula el módulo del vector normal?
Calcular el módulo del vector normal es como calcular el módulo de un vector numérico, es decir:
Sea el vector \(\vec{V}=(a, b, c)\), tenemos que su módulo es dado por:
\[|\vec{V}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\]
Caso particular: en el tema anterior vimos que cuando tenemos una superficie parametrizada explícita existe una forma más simple de escribir el vector normal, en este caso haremos lo mismo pero para el área.
Si encuentras una superficie en la expresión explícita \(z=f(x, y)\), puedes parametrizarla de la siguiente forma:
\[\varphi(x, y)=(x, y, f(x, y))\]
En estos casos, tenemos:
\[\vec{N}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \times \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\]
Entonces, el área de la superficie será dada por:
\[\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} d x d y\]
Esa fórmula solo funciona para facilitar los cálculos. En caso de que no la recuerdes solo debes seguir los siguientes pasos para encontrarla:
Ejemplo: calcule el área de una esfera de radio \(a\).
Paso 1: parametrizar la superficie
Como se trata de una esfera, vamos a utilizar coordenadas esféricas \(x=\rho \cos{\theta} \operatorname{sen}\beta\), \(y=\rho\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \beta\) y \(z=\rho\cos{\beta}\). Como \(\rho=a\) ,tenemos:
\[\varphi (\theta, \beta)= (a \cos{\theta} \operatorname{sen} \beta, a \operatorname{sen} \theta \operatorname {sen} \beta, a \cos{\beta}\]
Con \(0\leq\theta\leq 2 \pi\) y \(0\leq\beta\leq \pi\)
Paso 2: calcular \(\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\) y \(\frac{\partial \varphi}{\partial \beta}\)
\[\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}=(-a \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \beta, a \cos \theta \operatorname{sen} \beta, 0)\]
\[\frac{\partial \varphi}{\partial \beta}=(a \cos \theta \cos \beta, a \operatorname{sen} \theta \cos \beta,-a \operatorname{sen} \beta)\]
Paso 3: calcular \(\|\| \vec {N} \|\|\)
\[\vec{N}=\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} \times \frac{\partial \varphi}{\partial \beta}\]
\[\vec{N}=(-a \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \beta, a \cos \theta \operatorname{sen} \beta, 0) \times(a \cos \theta \cos \beta, a \operatorname{sen} \theta \cos \beta,-a \operatorname{sen} \beta)\]
\[\vec{N}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ -a \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \beta & a \cos \theta \operatorname{sen} \beta & 0 \\ a \cos \theta \cos \beta & a \operatorname{sen} \theta \cos \beta & -a \operatorname{sen} \beta\end{array}\right|\]
\[\vec{N}=-\left(a^{2} \cos \theta \operatorname{sen}^{2} \beta, a^{2} \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}^{2} \beta, a^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta \operatorname{sen} \beta \cos \beta+a^{2} \cos ^{2} \theta \operatorname{sen} \beta \cos \beta\right)\]
\[\vec{N}=-\left(a^{2} \cos \theta \operatorname{sen}^{2} \beta, a^{2} \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen}^{2} \beta, a^{2} \operatorname{sen} \beta \cos \beta\right)\]
Ahora vamos a calcular el módulo con la fórmula que te mostré anteriormente.
\[\|\vec{N}\|=\sqrt{a^{4} \cos ^{2} \theta \operatorname{sen}^{4} \beta+a^{4} \operatorname{sen}^{2} \theta \operatorname{sen}^{4} \beta+a^{4} \operatorname{sen}^{2} \beta \cos ^{2} \beta}\]
\[\|\vec{N}\|=\sqrt{a^{4} \operatorname{sen}^{4} \beta+a^{4} \operatorname{sen}^{2} \beta \cos ^{2} \beta}\]
\[\|\vec{N}\|=\sqrt{a^{4} \operatorname{sen}^{2} \beta}=a^{2} \operatorname{sen} \beta\]
Paso 4: armar la integral
Estos intervalos son los que encontramos en el primer paso, cuando parametrizamos la superficie.
Paso 5: resolver la integral
\[\left.\int_{0}^{\pi} \theta a^{2} \operatorname{sen} \beta\right|_{0} ^{2 \pi} d \beta\]
\[=2 \pi a^{2} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} \beta d \beta=\]
\[=-\left.2 \pi a^{2} \cos \beta\right|_{0} ^{\pi}\]
\[=-2 \pi a^{2}[-1-1]=\]
\[4 \pi a^{2}\]
Integral de superficie - función escalar
La integral de superficie de una función es parecida al cálculo de áreas.
Acabamos de ver cómo calcular el área de una superficie. Bien, imaginemos que una superficie tiene una densidad superficial \(\rho=\rho(x, y, z)\). Entonces si quisiéramos calcular la masa tendríamos que hacer:
\[dm=\rho d s\]
Donde \(dS\) es una porción de la superficie, un infinitesimal de superficie. Integrando ambos lados en \(S\):
\[M=\iint_{S} \rho(x, y, z) d S\]
Esto puede ser escrito de una forma más general para cualquier función \(f(x,y,z)\):
\[\iint_{S} f(x, y, z) d S=\iint_{D} f(\varphi(u, v))\|\vec{N}\|_{d u d v}\]
Esa es la integral de superficie de la función \(f\). El término \(f(\varphi(u,v))\) significa que tendremos que colocar las expresiones de la parametrización en la función, pero eso lo veremos luego. Puedes estar tranquilo/a.
Observa que, cuando tenemos \(f (\varphi(u,v))\), tenemos:
\[\iint_{S} d S=\iint_{D}\|\vec{N}\|_{d u d v}=A(S)\]
Es exactamente la definición que vimos para el área de superficie, ¿recuerdas?
Ahora vamos a ver un ejemplo, para que todo se entienda.
Ejemplo: considere la superficie \(S\) del paraboloide \(z=x^{2}+y^{2}\) contenida en el interior del cilindro \(x^{2}+y^{2} \leq 4\) y la función \(h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\). Calcule \(\iint_{S} h d S\).
Paso 1: parametrizar \(S\)
Como la superficie está en su forma explícita, vamos a parametrizarla como
\[\varphi(x, y)=\left(x, y, x^{2}+y^{2}\right)\]
Y utilizar la fórmula que acabamos de ver para calcular la integral. Como el cilindro está limitando el dominio de \(S\)
\(D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}\)
Paso 2: calcular \(\frac{\partial h}{\partial x}\) y \(\frac{\partial h}{\partial y}\)
\[\frac{\partial h}{\partial x}=2 x\]
\[\frac{\partial h}{\partial y}=2 y\]
En este caso también puedes usar la fórmula general \(\iint_{S} h d S=\iint_{D} h(\varphi(u, v))\left\|\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right\| d u d v\), sin problemas. Tal vez nos dé un poco de trabajo, ya sabemos que \(\left\|\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right\|=\sqrt{1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^{2}}\).
Paso 3: armar la integral
Ahora vamos a entender lo que es \(h(\varphi(x,y))\). ¿Recuerdas la integral de línea? Sustituiamos \(x\) de la función por \(x\) de la parametrización y lo mismo para las otras variables. Aquí haremos lo mismo.
Para este caso en específico la función no variará. Entonces vamos a la fórmula:
\[\iint_{S} h d S=\iint_{D} h(\varphi(x, y)) \sqrt{1+\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^{2}} d x d y\]
Sustituyendo los valores que tenemos:
\[\iint_{S} h d S=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+(2 x)^{2}+(2 y)^{2}} d x d y\]
\[\iint_{S} h d S=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} d x d y\]
Donde \(D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}\)
Y resolvemos la integral de igual forma que resolvemos una integral doble. En este caso sería bueno utilizar el cambio polar.
El razonamiento que debes seguir siempre será el mismo, la parte más complicada quizá sea parametrizar las superficies, pero con la práctica se volverá más fácil. Y eso es todo ¡Vamos a los ejercicios!
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