Superficie abierta

Teorema de Gauss

 

Por el teorema de Gauss, podemos transformar una integral de superficie en una integral triple, de esta forma:

 

\[\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

 

Es decir, el teorema “simplifica” algunas integrales complicadas a través de la transformación. 

 

Sin embargo, el teorema de Gauss se utiliza para superficies cerradas, en las cuales es posible calcular el volúmen. Pero qué pasaría si tuviéramos un superficie abierta, ¿que debemos hacer?

 

Debemos cerrar la superficie. Eso es lo que vamos a aprender en esta ocasión. 

 

Superficies abiertas

 

Veamos un ejemplo para entender cómo debemos cerrar la superficie y calcular la integral:

 

\[\left\{\begin{array}{l}\vec{F}=\left(e^{y^{2}} ; \ln \left(z^{2}+1\right) ; x^{2}\right) \\ S: z=9-\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}\right.\]

 

Donde, \(0\leq z \leq 9\) y \(\vec{n} \cdot \vec{k}>1\)

 

Si intentamos resolver la integral de superficie directamente será complicado, por tanto, vamos a aplicar el teorema de Gauss. ¿Recuerdas que la superficie debe ser cerrada? Veamos cómo es la superficie \(S\) en el gráfico

Como puedes ver, la superficie está abierta por la parte de debajo. Entonces tenemos que cerrarla.

 

Recuerda, siempre que una superficie tenga forma de paraboloide, cono o cilindro, debes tener cuidado, porque puede tratarse de una superficie cerrada. 

 

Para cerrar la superficie tendremos que agregar una superficie \(S_{1}\) por debajo del paraboloide, como se indica en la figura:

 

Como agregamos una nueva superficie, el teorema de Gauss será:

 

\[\iint_{S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s+\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

 

Observa que apareció una integral de superficie para \(S_{1}\). Vamos a resolver esa nueva integral:

 

\[\iint_{S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s\]

 

Pero primero veamosla en el plano \(xy\):

 

 

Como puedes ver, la “tapa” es una circunferencia de radio \(3\), en \(z=0\). Entonces su parametrización será

 

\[S_{1}: \varphi=(r \cos \theta ; r \operatorname{sen} \theta ; 0)\]

 

Como el radio va hasta \(3\), tenemos que \(0 \leq r \leq 3\).

 

Y \(\theta\) va variar de \(0 \leq \theta \leq 2\pi\), porque es un círculo completo.

 

Para resolver la integral de la “tapa”, tendremos que hallar el vector normal

 

\[\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \cos \theta & \operatorname{sen} \theta & 0 \\ -r \operatorname{sen} \theta & \operatorname{rcos} \theta & 0\end{array}\right|=(0,0, r)\]

 

Solo que, cómo la “tapa” está debajo de la superficie y el vector normal apunta hacia afuera de la misma, este tendrá que apuntar hacia abajo. Así:

 

\[\vec{n}=(0,0,-r)\]

 

Hallamos el vector normal. Ahora vamos al campo que está definido en,

 

\[\vec{F}=\left(e^{y^{2}} ; \ln \left(z^{2}+1\right) ; x^{2}\right)\]

 

Como ya parametrizamos la circunferencia, tendremos que hacer la sustitución

 

\[\vec{F}(\varphi(r, \theta))=\left(e^{(r s e n \theta)^{2}} ; 0 ; r^{2} \cos ^{2} \theta\right)\]

 

De vuelta a la integral de \(S_{1}\), que será:

 

\[\iint_{S_{1}}\left(e^{(r s e n \theta)^{2}} ; 0 ; r^{2} \cos ^{2} \theta\right) \cdot(0,0,-r) d r d \theta\]

 

Ponemos los límites de integración y resolvemos la integral:

 

\[\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{3}-r^{3} \cos ^{2} \theta d r d \theta=-\frac{81 \pi}{4}\]

 

Bien, una vez calculada la integral de superficie de la “tapa”, volvemos a la ecuación general nuevamente:

 

\[\iint_{S_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s+\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

 

\[-\frac{81 \pi}{4}+\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V\]

 

Entonces para resolver la ecuación de superficie original, tenemos que:

 

\[\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} \space d s=\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V+\frac{81 \pi}{4}\]

 

Ahora solo necesitamos hallar el divergente para resolver la integral triple,

 

\[\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}\]

 

Recuerda que el campo es:

 

\[\vec{F}=\left(e^{y^{2}} ; \ln \left(z^{2}+1\right) ; x^{2}\right)\]

 

Entonces, calculando las derivadas parciales, tenemos que:

 

\[\operatorname{div}(\vec{F})=0+0+0\]

 

\[\operatorname{div}(\vec{F})=0\]

 

Por tanto, la integral triple será cero

 

\[\iiint_{W} \operatorname{div}(\vec{F}) d V=0\]

 

Volviendo a la integral del problema, tendremos:

 

\[\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=0+\frac{81 \pi}{4}\]

 

\[\iint_{\partial W} \vec{F} \cdot \vec{n} d s=+\frac{81 \pi}{4}\]

 

¡Y listo! Acabamos de resolver el ejercicio. 

 

Importante

 

Al usar el teorema de Gauss se dice que la superficie del sólido está orientada positivamente si el vector normal en cualquier punto está apuntando hacia afuera de la superficie. 

 

Debemos tener cuidado al hallar la superficie, la nueva superficie, es decir, la “tapa” debe mantener la orientación de la superficie, resultando en un sólido orientado positivamente. 

 

Observación: una relación importante es la del divergente del rotacional, al hacer esta operación obtenemos un resultado interesante.

 

Sea un campo vectorial \(\vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right)\), así

 

\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3}\end{array}\right|=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]

 

\[\vec{G}=\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]

 

Hacemos el divergente de \(\vec{G}\)

 

\[\operatorname{div}(\vec{G})=\frac{\partial G_{1}}{\partial x}+\frac{\partial G_{2}}{\partial y}+\frac{\partial G_{3}}{\partial z}\]

 

\[\operatorname{div}(\vec{G})=\frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial y \partial x}-\frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial z \partial y}-\frac{\partial^{2} F_{3}}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} F_{2}}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^{2} F_{1}}{\partial y \partial z}\]

 

\[\operatorname{div}(\vec{G})=0\]

 

Como \(\vec{G} rot \bigg(\vec{F}\bigg)\)

 

\[\operatorname{div}(\operatorname{rot}(\vec{F}))=0\]

 

¡Hecho! Entonces, todo divergente del rotacional es cero. “¿Pero para qué lo usariamos?”

 

Pues algunos problemas o ejercicios combinan ambos teoremas (Stokes y Gauss).

 

Eso es todo, ¡Vamos a practicar!

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