Superficie regular y orientable

¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión vamos a seguir expandiendo nuestros conocimientos, a través del aprendizaje de nuevos conceptos. 

Pero no sin antes refrescar lo que sabemos sobre el vector normal.

Vector normal

Ya hemos hablado sobre cómo obtener el vector normal, ¿recuerdas? No te preocupes si no lo recuerdas, porque lo veremos nuevamente. Si tenemos una superficie parametrizada con \(\varphi(u, v)\), calculamos el vector normal haciendo lo siguiente:

\[\vec{N}=\frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v}\]

Entonces, si quisiéramos el vector normal de \(\varphi=(3 x, 2 y, x+4 y)\):

Tenemos que \(\vec{N}=(3,0,1) \times(0,2,4)\)

\[\vec{N}=\left|\begin{array}{lll}i & j & k \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4\end{array}\right|=(-2,-12,+6)\]

Siempre recuerda este truco: si tenemos una parametrización explícita como esta:

\[\varphi(x, y)=(x, y, f(x, y))\]

Ya tendríamos la fórmula del vector normal, basta con escribir:

\[\vec{N}=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\]

¡Ahora que recordamos cómo calcular el vector normal, veamos sus aplicaciones!

Superficies regulares

La primera aplicación del vector normal que veremos tiene como función identificar si una superficie es regular o no. Pero, ¿qué es una superficie regular? Decimos que una superficie es regular cuando todos los vectores normales a esta son distintos a cero. 

¿Y cómo sabemos si una superficie es regular? Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: ¿la superficie \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) es regular en todos los puntos?

Lo que queremos saber es si todos los vectores normales son diferentes a cero. Para responder esa pregunta veamos un paso a paso:

Paso 1: parametrizar la superficie \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

La superficie dada fué: \(z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

En este caso vamos a utilizar coordenadas cilíndricas, \(x=r \cos \theta, y=r \operatorname{sen} \theta, z=r\), lo que nos da:

\[\varphi(r, \theta)=(r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta, r)\]

\[r>0, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

Paso 2: calcular \(\frac{\partial \varphi}{\partial r}\) y \(\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\)

\[\frac{\partial \varphi}{\partial r}=(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta, 1)\]

\[\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}=(-r \operatorname{sen} \theta, r \cos \theta, 0)\]

Paso 3:  calcular \(\vec {N}\)

\[\vec{N}=\frac{\partial \varphi}{\partial r} \times \frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\]

\[\vec{N}=(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta, 1) \times(-r \operatorname{sen} \theta, r \cos \theta, 0)\]

\[\vec{N}=(-r \cos \theta,-r \operatorname{sen} \theta, r)\]

Paso 4: verificar si \(\vec{N} \neq 0\)

Por tanto, para que el vector nunca sea cero, este nunca podrá ser cero en las tres entradas. “¿Cómo así?” El vector nunca podrá dar \((0,0,0)\).

Ten en cuenta que \(r\) es una variable que se repite en la tres entradas, es decir, el vector será nulo cuando

\[r=0\]  

Por tanto, esa superficie no es regular es cuando \(r=0\). Veamos el gráfico de la superficie para tener una idea más clara,

Ten en cuenta que la superficie tiene un “pico” en el origen. Siempre que esto ocurra la superficie no será regular en dicho punto. 

De forma general, podemos decir que una superficie parametrizada es regular en un punto si 

\[\vec{N}\left(u_{0}, v_{0}\right) \neq 0\]

También podemos decir que la superficie no presenta “picos”, es decir, se trata de una superficie lisa. 

Superficie orientable

Esta es una de las propiedades de superficie que puede ser definida por los vectores normales. 

Decimos que una superficie parametrizada \(S\) es orientable cuando es posible fijar un campo de vectores normales no nulos y continuos. 

En la práctica, si la figura vuelve a su estado original invertida, se dice que la superficie no es orientable, de lo contrario, se dice que es orientable. Para tener una mejor idea de lo que se está hablando observa la siguiente imagen:

La bola verde representa un punto de la superficie e inicialmente esta tiene su vector normal apuntando hacia afuera (en azul). Vamos a “mover” dicha pelota por la superficie siguiendo el flujo de flechas negras. Ten en cuenta que cuando llegamos al mismo punto, la bola verde estará al otro lado de la superficie y su vector normal estará apuntando hacia adentro (en rojo). Es decir, su estado original fue invertido.

En resumen, si el vector normal de la superficie regular es una función vectorial continua la superficie es orientable. Este concepto es importante para poder entender algunos teoremas que veremos. 

Orientación relativa entre superficies y curvas

Un concepto importante en orientación es la orientación relativa entre las superficies abiertas y sus bordes.

Sea \(S\) una superficie orientable, decimos que el borde, su superficie de frontera \(C\), está orientado positivamente si la superficie está a la izquierda de una persona que camina por el borde. 

Si es difícil entenderlo de esa manera, entonces veamos este ejemplo:

Si la superficie estuviera a la derecha de la persona, entonces decimos que \(C\) está orientado negativamente. 

Si conoces la Regla de la mano derecha, de uso extendido en física, puedes usarla aquí. El concepto es el mismo: cuando tu pulgar apunta en sentido de la curva \(C\), sus otros lados, que van a “perforar” la superficie \(S\) deben estar en sentido de \(\vec {n}\). De esa forma, la curva estará orientada positivamente.