ou

Este contenido es exclusivo para usuarios registrados.

¡Regístrese gratis en el portal de ingeniería más grande!

Política de privacidad

Calculisto

Caso avanzado

En parametrización explícita, aprendimos sobre la parametrización y la parametrización de superficies que pueden ser escritas como \(z=f(x, y), x=g(y, z), y=h(x, z)\)

 

En esta ocasión vamos a expandir nuestro conocimientos aprendiendo nuevos tipos de parametrizaciones. Cabe resaltar que cualquier superficie puede ser parametrizada, pero debemos tener cuidado al escoger parámetros que nos ayuden a resolver el problema. Recuerda: parametrizar una superficie, siempre se necesitan 2 parámetros

 

En algunas superficies es mejor utilizar una parametrización más específica. Tendremos tres casos principales, que son: la parametrización de un cilindro, la de una esfera y la de una superficie de revolución.

 

Pero, antes de parametrizar estas superficies, recordemos dos relaciones trigonométricas importantes. 

 

La primera es la relación fundamental de la trigonometría:

 

\[\operatorname{sen}^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\]

 

Y la otra relación importante es:

\[\operatorname{tg}^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta\]

 

Parametrización de un cilindro

 

Sea un cilindro de ecuación \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\). Bien, por cilindro solo entendemos la parte lateral, no las “tapas” de arriba o abajo. Entonces, vamos a escoger los siguientes parámetros:

 

\[\left\{\begin{array}{c}x=R \cos (\theta) \\ y=R \operatorname{sen}(\theta) \\ z=z\end{array}\right.\]

 

“Pero, ¿no debería ser en función de dos parámetros?” En este caso están en función de \(R\), \(\theta\) y \(z\).

 

¡Calma! Estamos viendo la ecuación genérica de un cilindro, llamamos \(R\) al radio, pero este es un valor constante, no una variable. Por tanto, no es un parámetro. Observa el ejemplo del cilindro:

 

\[x^{2}+y^{2}=10 \rightarrow R=\sqrt{10}\]

 

\[\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{10} \cos (\theta) \\ y=\sqrt{10} \operatorname{sen}(\theta) \\ z=z\end{array}\right.\]

 

Parametrización de una esfera

 

Una esfera genérica tiene ecuación \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\), donde \(R\) es el radio de la esfera. La parametrización esférica usa los parámetros:

 

\[\left\{\begin{array}{c}x=R \cos (\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ y=R \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ z=R \cos (\phi)\end{array}\right.\]

 

¿Ves cómo se relaciona con el cilindro? ¡Ocurrió lo mismo! En este caso \(R\) es un valor constante, entonces los parámetros de la esfera son \(\phi\) y \(\theta\).

 

\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \rightarrow R=2\]

 

\[\left\{\begin{array}{c}x=2 \cos (\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ y=2 \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ z=2 \cos (\phi)\end{array}\right.\]

 

Parametrización de una superficie de revolución

 

Algunos ejercicios nos van a pedir calcular una “superficie de revolución”, o también “la superficie obtenida girando la función \(f\) alrededor de un eje”. El nombre puede sonar amenazante, sin embargo, para este tipo de casos existe un “truco” que facilitará todo. Veamos el siguiente ejemplo:

 

Encuentre la parametrización de la superficie resultante de la rotación de la recta \(y+x=3\), limitada por \(1 \leq x \leq 2\), alrededor del eje \(y\). 

 

La superficie de la cual está hablando el enunciado es la siguiente:

 

 

¿Cómo parametrizamos este tipo de superficie?

 

¡Es simple! ¿Ves como la “idea” del eje \(x\) y el eje \(y\) se confunde en el problema? Es decir, si comenzaramos por la misma recta, solo que en el plano \(xy\) daría en la misma superficie. Por tal razón, cuando giramos en el eje \(y\), las parametrizaciones de \(x\) y \(y\) estarán asociadas. Lo mismo va a ocurrir cuando giramos en los ejes \(x\) o \(z\).

 

En este caso, vamos a decir que \(x(t)=t\), con eso, por la ecuación inicial tenemos:

 

\[x+y=3\]

 

\[y=3-x\]

 

\[y(t)=3-t\]

 

Y vamos a colocar un factor referente al giro que hicimos con la función.

 

\[\varphi(t, \theta)=(t \cos \theta, 3-t, t \operatorname{sen} \theta)\]

 

Ten en cuenta que dicho factor no entró en el parámetro de \(y\) porque giramos en torno a él. Además, la función \(x(t)\) también está presente en el término \(z\), por el hecho de que \(x\) y \(z\) serán parecidos cuando giramos en torno al eje \(y\).

 

¡Y eso es todo!

 

De forma general:

 

Rotación en el eje \(x\):

\[\varphi(t, \theta)=(x(t), y(t) \cos \theta, y(t) \operatorname{sen} \theta)\]

 

Rotación en el eje \(y\):

\[\varphi(t, \theta)=(x(t) \cos \theta, y(t), x(t) \operatorname{sen} \theta)\]

 

Rotación en el \(z\):

\[\varphi(t, \theta)=(x(t) \cos \theta, x(t) \operatorname{sen} \theta, z(t))\]

 

Parametrización x Cambio de variables

 

Debemos tener clara la diferencia entre parametrizar una curva y hacer el cambio de variables. Es común confundir ambas cosas, pues sus expresiones son realmente parecidas. 

 

Para comenzar, vimos que en la parametrización de superficies colocamos la función dos parámetros, mientras que para el cambio de variables, seguimos teniendo tres variables en el problema.

 

¿Qué podemos concluir de lo anterior? Podemos concluir que: cuando escribimos algo con dos parámetros, representamos una superficie. Cuando escribimos algo con tres parámetros, representamos un sólido 

 

Veamos un ejemplo

 

Sabemos que un sólido esférico de ecuación \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}\) es escrito en coordenadas esféricas como:

 

\[\left\{\begin{array}{l}x=r \cos (\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ y=r \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ z=r \cos (\phi)\end{array}\right.\]

 

Con las variables definidas en el siguiente intervalo:

 

Es decir, al cambiar de variables el problema va a pasar \((x,y,z)\) a \((r, \theta, \phi)\).

 

Si solamente tomamos la superficie esférica de este sólido, podemos decir que la variable \(r\) no es una variable, ya que es fija y su valor es \(R\).

 

La ecuación de la superficie esférica es \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\) y como \(r\) es fija y su valor es igual a \(R\), la superficie solo depende de las variables \(\theta\) y \(\phi\) (dos parámetros) y la función de parametrización es:

 

\[\varphi(\theta, \phi)=(R \cos (\theta) \operatorname{sen}(\phi), R \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\phi), R \cos (\phi))\]

 

Con los parámetros \(\theta\) y \(\phi\) variando:

 

\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

 

\[0 \leq \phi \leq \pi\]

 

Vale la pena explicar que cada parametrización está asociada a una sola superficie. De la misma forma que cuando vemos la ecuación \(x+y+z=1\) “sabemos” que es un plano que pasa por \((1,0,0\), \((0,1,0)\) y \((0,0,1)\). Una computadora puede ver la parametrización

 

\[\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos (\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ y=2 \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\phi) \\ z=2 \cos (\phi)\end{array}\right.\]

 

Y saber que el gráfico de este es una esfera de radio \(2\) con centro en el orígen.

 

¿Ves la diferencia? ¡Vamos a los ejercicios!

Hay un error?

Todos los Resúmenes