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Singularidad
¡Bienvenidos, espero que estén bien! En esta ocasión vamos a seguir con la integral de superficie, sin embargo, veremos algunas particularidades que tendremos que resolver.
Calcule el trabajo realizado por el campo \(\vec{F}\) a lo largo de \(\gamma\), donde
\[\vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, z\right)\]
Y \(\gamma\) es la curva dada por la intersección de \(x^{2}+y^{2}=1\) con \(z=y+3\), orientada de forma que la proyección en el plano \(xy\) es recorrida en sentido antihorario.
Repasando el teorema de Stokes
De entrada pensamos en aplicar directamente el teorema de Stokes, pero debo decirte que poner la parametrización de superficie en el campo será complicado. Entonces, vamos a aplicar el teorema de Stokes que nos dice que:
Sea \(S\) una superficie orientada, si \(\vec{F}= (F_{1}, F_{2}, F_{3}\) podemos escribir el teorema de Stokes de esta forma:
\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d r\]
Pero esto sólo puede hacerse bajo \(3\) condiciones:
\(1.\) Curva cerrada
\(2.\) Sin singularidad
\(3.\) Orientada positivamente
Veamos si el problema cumple los requisitos.
\(1.\) Vamos a verificar si la curva es cerrada observando el gráfico de la región. Tenemos un cilindro elíptico cortado por un plano:
El problema nos pide calcular la integral de línea en \(\gamma\), que es la intersección del plano inclinado con el cilindro. Como podemos ver, \(\gamma\) forma una elipse. ¿Lo ves?
\(2.\) Verificar si posee singularidad. Recordando que un campo con singularidad es un campo en el cual por lo menos un punto del dominio no está definido.
Entonces, vamos a observar el campo del problema:
\[\vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, z\right)\]
Ten en cuenta que tenemos un término \(x^{2}+y^{2}\) en el denominador. Y recuerda que en una fracción, el denominador no puede ser cero. Es decir, no tenemos un dominio definido allí.
“¿Y cómo vamos a resolver eso? ¿Que se hace en estos casos?” Buscamos la manera de despejar la singularidad. Veamos cómo se hace.
Despejar la singularidad
En general, para despejar una singularidad, debemos escoger superficies que no incluyan estos puntos. Pues el teorema de Stokes puede ser aplicado a cualquier superficie que tenga borde.
Ten en cuenta que \(x\) y \(y\) no pueden ser iguales a cero, esto quiere decir que tenemos una indeterminación, por tanto, el campo no está definido en el eje \(z\). Entonces, no podemos usar el plano como superficie, porque esta corta al eje \(z\) (mira el gráfico). Por tal razón, en lugar de usar el plano, usaremos una parte del cilindro (parte lateral del cilindro).
Si al definir esta nueva superficie surge un nuevo borde, debemos estar atentos para así sumar este borde en el teorema de Stokes.
\[\iint_{S^{\prime}}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d S=\oint_{\partial S_{1}} \vec{F} \cdot d r+\oint_{\partial S_{2}} \vec{F} \cdot d r\]
Donde, \(S^{\prime}\) es la nueva superficie, \(\partial S_{1}\) es el borde original y \(\partial S_{2}\) es el nuevo borde de la superficie \(S^{\prime}\).
Entonces, veamos el nuevo gráfico. \(S\) es la parte del cilindro cortada por el plano y ahora tendremos \(\partial S\) que es la propia curva \(\gamma\) sumada al borde debajo del cilindro \(C\) (una circunferencia).
La curva \(C\) es la que definimos. No podemos escoger ninguna superficie que pase por el origen, siendo más fácil usar dos curvas del cilindro.
Entonces tenemos:
\[\oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d r=\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s=\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r+\int_{C} \vec{F} \cdot d r\]
Y con eso despejamos la singularidad. Ahora vamos a la tercera condición que es la orientación.
\(3.\) Pensemos en las orientaciones. Si \(\gamma\) está en sentido antihorario, por la Regla de la mano derecha, \(S\) debe tener su vector normal apuntando hacia adentro. Por consecuencia, \(C\), que está abajo, gira en sentido horario, para que el vector normal continúe apuntando hacia afuera.
Vamos a resolver cada parte de esta igualdad de integrales:
Comenzando por la parte,
\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s\]
Vamos a calcular el rotacional. Recuerda el campo,
\[\vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}, z\right)\]
Tenemos:
\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3}\end{array}\right|\]
\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\]
\[\operatorname{rot}(\vec{F})=\left(0-0,0-0,-\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}--\left(-\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right)\right)=(0,0,0)\]
Ahora debemos parametrizar \(S\) para encontrar su vector normal. Pero aquí vamos a pensar con astucia.
Si la superficie es un cilindro con simetría en \(z\), su vector normal tiene esa componente nula. Sería algo así:
\[\vec{n}=(?, ?, 0)\]
Haciendo el producto escalar de eso con \(\text {rot} \bigg(\vec {F}\bigg)\), mira lo que encontramos:
\[\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s=\iint_{S}(0,0,0)(?, ?, 0) d s=0\]
Aquí no debemos parametrizar nada, entonces, el resultado de esa integral es cero.
Entonces quedamos así,
\[\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r+\int_{C} \vec{F} \cdot d r=0\]
Para terminar la pregunta, debemos calcular la integral de línea en el otro borde de la superficie, \(C\).
Como la circunferencia \(C\) está en el plano \(xy\), su ecuación es la misma que la del cilindro:
\[x^{2}+y^{2}=1\]
Parametrizando eso, tenemos:
\[\vec{C}(\theta)=(\cos \theta, \operatorname{sen} \theta, 0)\]
Como tenemos una vuelta completa en el sentido horario, \(\theta\) va de \(0\) a \(2\pi\).
Esa última componente \(z=0\) es porque la curva está en el plano \(xy\).
Ahora vamos a derivar eso:
\[\vec{C}^{\prime}(\theta)=(-\operatorname{sen} \theta, \cos \theta, 0)\]
Vamos a escribir el campo en las variables de parametrización y usar la fórmula:
\[\int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}=\int_{C} \vec{F}(x(\theta), y(\theta), z(\theta)) \cdot \overrightarrow{C^{\prime}} d \theta\]
\[\vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}, z\right)\]
\[\vec{F}(\theta)=\left(\frac{\cos (\theta)}{\cos ^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta)}, \frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos ^{2}(\theta)+\operatorname{sen}^{2}(\theta)}, 0\right)\]
\[\vec{F}(\theta)=(\cos (\theta), \operatorname{sen}(\theta), 0)\]
Llevándolo a la integral y usando la relación fundamental trigonométrica \(\operatorname {sen}^{2}\theta +\cos^{2}\theta=1\)
\[\int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}=\int_{0}^{2 \pi}(\cos (\theta), \operatorname{sen}(\theta), 0) \cdot(-\operatorname{sen} \theta, \cos \theta, 0) d \theta\]
\[=\int_{0}^{2 \pi}(-\cos (\theta) \operatorname{sen}(\theta)+\cos (\theta) \operatorname{sen}(\theta)) d \theta=\int_{0}^{2 \pi} 0 d \theta=0\]
Entonces tenemos
\[\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r+\int_{C} \vec{F} \cdot d r=\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s\]
\[\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d r=\iint_{S}(\operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}) d s-\int_{C} \vec{F} \cdot d r=0-0=0\]
Respuesta:
\[0\]
OBS Final: en este ejemplo vimos un caso de singularidad de fracciones, pero otro caso de singularidad común es la raíz de números negativos. Como trabajamos con el conjunto de los números reales, no existen raíces de números negativos, entonces debemos estar atentos con este caso. En ese sentido, siempre debemos desconfiar cuando encontremos fracciones, raíces de exponente par y logaritmos.
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